Apresente a resposta do sistema de 1 gdl em termos de deslocamento, velocidade e aceleração no tempo t=1,5[\mathrm{~s}]. Utilize o método das diferenças finitas centrais e o método de Newmark. Considere m=3[\mathrm{~kg}],
k=100[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], c=10[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], uma força externa agindo no sistema F=30(\cos (\pi t)) e incrementos de tempo \Delta t=0,25[\mathrm{~s}]. Como condições inicias, x_{0}=0[\mathrm{~m}] e \dot{x}_{0}=0[\mathrm{~m} / \mathrm{s}]. Para Newmark, use \beta=0.5 e \alpha=0.25.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de um grau de liberdade massa-mola-amortecedor com m=3\\ \mathrm{kg}, k=100\\ \mathrm{N/m}, c=10\\ \mathrm{Ns/m}, carregado por
F(t)=30\cos(\pi t)
com passo de integração \Delta t=0,25\\ \mathrm s. As condições iniciais são x(0)=0, \dot x(0)=0. Queremos x, \dot x e \ddot x em t=1{,}5\\ \mathrm s usando (i) diferenças finitas centrais e (ii) Newmark com \gamma=0,5 (que chamam de \alpha) e \beta=0,25.

Passo 2

Para diferenças centrais escrevemos a equação em malha:
m\frac{x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}}{\Delta t^2} \;+\; c\frac{x_{n+1}-x_{n-1}}{2\,\Delta t} \;+\; k\,x_n = F_n.
Reorganizando, definimos
A=\frac{m}{\Delta t^2}+\frac{c}{2\,\Delta t},\quad B=2\,\frac{m}{\Delta t^2}-k,\quad C=\frac{m}{\Delta t^2}-\frac{c}{2\,\Delta t}
e o esquema explícito
x_{n+1}=\frac{F_n + B\,x_n + C\,x_{n-1}}{A}.

Passo 3

Primeiro achamos o deslocamento fictício x_{-1} a partir de
\,x_{-1}=x_0 -\Delta t\,\dot x_0 +\tfrac{\Delta t^2}{2}\,\ddot x_0
com \ddot x_0=(F_0-c\,\dot x_0-k\,x_0)/m=30/3=10. Logo
\,x_{-1}=0 +0 +\tfrac{0,25^2}{2}\cdot10=0{,}3125.
Iterando o esquema até n=6 (que corresponde a t=1{,}5) e calculando também x_7 para obter a velocidade central, obtemos
x_5=-0{,}33865,\quad x_6=-0{,}37857,\quad x_7=-0{,}11718.

Passo 4

Na malha central definimos
\dot x_6=(x_7-x_5)/(2\,\Delta t) e
\ddot x_6=(x_7-2\,x_6+x_5)/\Delta t^2. Substituindo
\Delta t=0{,}25, x_5,x_6,x_7 encontramos
\dot x(1{,}5)=0{,}4429\\ \mathrm{m/s},\quad \ddot x(1{,}5)=4{,}8210\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Para Newmark com \gamma=0,5, \beta=0,25 definimos
a_0=\frac1{\beta\Delta t^2},\; a_1=\frac1{\beta\Delta t},\; a_2=\frac1{2\beta}-1, \;b_1=\frac{\gamma}{\beta\Delta t},\; b_2=\frac{\gamma}{\beta}-1,\; b_3=\Delta t\Bigl(\frac{\gamma}{2\beta}-1\Bigr).
O termo de rigidez efetiva é
K_\mathrm{eff}=k + c\,b_1 + m\,a_0.

Passo 6

Calculamos \ddot x_0=10, \dot x_0=0, x_0=0. Em cada passo:
P_{\mathrm{eff},n+1} =F_{n+1} + m\bigl(a_0\,x_n + a_1\,\dot x_n + a_2\,\ddot x_n\bigr) + c\bigl(b_1\,x_n + b_2\,\dot x_n + b_3\,\ddot x_n\bigr),
x_{n+1}=\frac{P_{\mathrm{eff},n+1}}{K_\mathrm{eff}},\quad \ddot x_{n+1} =a_0\bigl(x_{n+1}-x_n\bigr) - a_1\,\dot x_n - a_2\,\ddot x_n,
\dot x_{n+1} =\dot x_n +\Delta t\Bigl[(1-\gamma)\,\ddot x_n + \gamma\,\ddot x_{n+1}\Bigr].
Iterando até n=5 (para chegar a t=1{,}5), obtemos
x(1{,}5)=-0{,}23576\\ \mathrm m,\quad \dot x(1{,}5)=1{,}54612\\ \mathrm{m/s},\quad \ddot x(1{,}5)=2{,}69187\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

Método das diferenças finitas centrais em t=1{,}5\\ \mathrm s:
x=-0{,}37857\\ \mathrm m,\;\dot x=0{,}4429\\ \mathrm{m/s},\;\ddot x=4{,}8210\\ \mathrm{m/s^2}.\n
Método de Newmark ( \gamma=0{,}5, \beta=0{,}25) em t=1{,}5\\ \mathrm s:
x=-0{,}23576\\ \mathrm m,\;\dot x=1{,}54612\\ \mathrm{m/s},\;\ddot x=2{,}69187\\ \mathrm{m/s^2}.

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