As cordas de um violão são feitas de fios com diâmetro de 1[\mathrm{~mm}], e densidade de 7600\left[\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right]. Se o comprimento de duas das cordas são 0.6 e 0.65 [m], determine as frequências fundamentais das cordas se em cada uma delas uma tensão de 5 \times 10^{2}[\mathrm{~N}] é aplicada.

Passo 1

O enunciado fornece fios de diâmetro 1\,[\mathrm{mm}] e densidade \rho=7600\,[\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3]. Cada corda tem comprimento L_1=0{,}60\,[\mathrm{m}] ou L_2=0{,}65\,[\mathrm{m}], e está submetida a uma tensão T=5\times10^2\,[\mathrm{N}]. Precisamos usar a relação da velocidade de onda numa corda
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
onde \mu é a massa por comprimento, e a fórmula da frequência fundamental
f = \frac{v}{2L}.

Passo 2

Calcular a área da secção transversal do fio, que é circular de diâmetro d=1\times10^{-3}\,[\mathrm{m}]. O raio é
r = \frac{d}{2} = 5\times10^{-4}\,[\mathrm{m}],
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A = \pi r^2 = \pi\bigl(5\times10^{-4}\bigr)^2 = 25\pi\times10^{-8}\approx7{,}85398\times10^{-7}\,[\mathrm{m}^2].

Passo 3

Determinar a densidade linear de massa \mu a partir de \rho e A:
\mu = \rho\,A = 7600\,[\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3]\times7{,}85398\times10^{-7}\,[\mathrm{m}^2]\approx5{,}97\times10^{-3}\,[\mathrm{kg}/\mathrm{m}].

Passo 4

Calcular a velocidade de propagação na corda:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{5\times10^2}{5{,}97\times10^{-3}}} \approx289\,[\mathrm{m}/\mathrm{s}].

Passo 5

Agora a frequência fundamental em cada comprimento L é
f = \frac{v}{2L}.
Para L_1=0{,}60\,[\mathrm{m}]:
f_1 = \frac{289}{2\times0{,}60} \approx241\,[\mathrm{Hz}].
Para L_2=0{,}65\,[\mathrm{m}]:
f_2 = \frac{289}{2\times0{,}65} \approx222\,[\mathrm{Hz}].

Resposta

A frequência fundamental da corda de 0{,}60\,[\mathrm{m}] é aproximadamente 241\,[\mathrm{Hz}] e da corda de 0{,}65\,[\mathrm{m}] é aproximadamente 222\,[\mathrm{Hz}].

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