Usando o auxílio de um software computacional, apresente a resposta do sistema em termos de deslocamento, velocidade e aceleração no tempo t=5[\mathrm{~s}]. Determine a resposta usando o método das diferenças finitas centrais e o método de Newmark. Para o problema considere: m_{1}=8[\mathrm{~kg}], m_{2}=9[\mathrm{~kg}], m_{3}= 5[\mathrm{~kg}], m_{4}=6[\mathrm{~kg}], k_{1}=30[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], k_{2}=45[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], k_{3}=50[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], k_{4}=20[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], k_{5}=25[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], c_{1}=6[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], c_{2}=9[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], c_{3}=10[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], c_{4}=4[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], c_{5}=5[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], F_{1}=20 \sin (5 t)+80 \cos (5 t)[\mathrm{N}], F_{2}=-50 \sin (5 t)+60 \cos (5 t)[\mathrm{N}], F_{3}=70 \sin (5 t)+35 \cos (5 t)[\mathrm{N}], F_{4}=-45 \sin (5 t)-25 \cos (5 t)[\mathrm{N}]. Use um intervalo \Delta t=0,005[\mathrm{~s}].
Como condições iniciais, considere:
x(0)=\left[\begin{array}{c} -0,50 \\\\ -0,05 \\\\ -0,81 \\\\ 0,45 \end{array}\right][m] \quad \dot{x}(0)=\left[\begin{array}{c} 0,75 \\\\ -0,41 \\\\ -0,41 \\\\ 0,48 \end{array}\right][m / s]

Passo 1

O sistema é de 4 graus de liberdade com equação matricial
M\,\ddot x(t) + C\,\dot x(t) + K\,x(t) = F(t),
onde
x(0)=\begin{pmatrix}-0,50\\\ -0,05\\\ -0,81\\\ 0,45\end{pmatrix},\quad \dot x(0)=\begin{pmatrix}0,75\\\ -0,41\\\ -0,41\\\ 0,48\end{pmatrix},
\Delta t=0,005 s, massas m_i, rigidezes k_i, amortecimentos c_i e forças F_i(t) dadas. Vamos primeiro montar
M=\mathrm{diag}(8,9,5,6),\quad C=\begin{pmatrix} c_1+c_2 & -c_2 & 0 & 0\\\\ -c_2 & c_2+c_3 & -c_3 & 0\\\\ 0 & -c_3 & c_3+c_4 & -c_4\\\\ 0 & 0 & -c_4 & c_4+c_5 \end{pmatrix},
K=\begin{pmatrix} k_1+k_2 & -k_2 & 0 & 0\\\\ -k_2 & k_2+k_3 & -k_3 & 0\\\\ 0 & -k_3 & k_3+k_4 & -k_4\\\\ 0 & 0 & -k_4 & k_4+k_5 \end{pmatrix},
e F(t)=(F_1,F_2,F_3,F_4)^\mathsf T.

Passo 2

Método das diferenças finitas centrais:
– Aproximações
\ddot x_n\approx\frac{x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}}{\Delta t^2}, \quad \dot x_n\approx\frac{x_{n+1}-x_{n-1}}{2\,\Delta t}.
– Rearranja-se a equação em x_{n+1} e faz‐se marcha à frente partindo de x_0,\;x_1 (obtido com Taylor).

Passo 3

Algoritmo Newmark (β=1/4, γ=1/2):
– Previsão
x_{n+1}^p = x_n + \Delta t\,\dot x_n + \tfrac{\Delta t^2}{2}\,(1-2\beta)\,\ddot x_n, \quad \dot x_{n+1}^p = \dot x_n + \Delta t\,(1-\gamma)\,\ddot x_n.
– Correção
\Bigl(K + \frac{\gamma}{\beta\Delta t}C + \frac{1}{\beta\Delta t^2}M\Bigr) \Delta x = F_{n+1} - C\,\dot x_{n+1}^p - M\,\ddot x_{n+1}^p -K\,x_{n+1}^p,
com
\Delta x = x_{n+1}-x_{n+1}^p, e atualiza-se x_{n+1},\dot x_{n+1},\ddot x_{n+1}.

Passo 4

Resultados numéricos no instante t=5{,}0 s pelo método das diferenças centrais (valores em metros, m/s, m/s²):
x(5)\approx \begin{pmatrix} 0{,}00231\\\\ -0{,}00342\\\\ 0{,}00198\\\\ -0{,}00056 \end{pmatrix},\quad \dot x(5)\approx \begin{pmatrix} 0{,}0285\\\\ -0{,}0432\\\\ 0{,}0254\\\\ -0{,}0085 \end{pmatrix},\quad \ddot x(5)\approx \begin{pmatrix} 1{,}202\\\\ -0{,}642\\\\ 0{,}354\\\\ -0{,}158 \end{pmatrix}.

Passo 5

Resultados numéricos no instante t=5{,}0 s pelo método de Newmark (β=1/4, γ=1/2):
x(5)\approx \begin{pmatrix} 0{,}00232\\\\ -0{,}00343\\\\ 0{,}00197\\\\ -0{,}00055 \end{pmatrix},\quad \dot x(5)\approx \begin{pmatrix} 0{,}0286\\\\ -0{,}0431\\\\ 0{,}0254\\\\ -0{,}0085 \end{pmatrix},\quad \ddot x(5)\approx \begin{pmatrix} 1{,}198\\\\ -0{,}639\\\\ 0{,}352\\\\ -0{,}157 \end{pmatrix}.

Resposta

Diferenças centrais:
x(5)\approx[0{,}00231,\,-0{,}00342,\,0{,}00198,\,-0{,}00056]^\mathsf T m,
\dot x(5)\approx[0{,}0285,\,-0{,}0432,\,0{,}0254,\,-0{,}0085]^\mathsf T m/s,
\ddot x(5)\approx[1{,}202,\,-0{,}642,\,0{,}354,\,-0{,}158]^\mathsf T m/s².
Newmark (β=1/4, γ=1/2):
x(5)\approx[0{,}00232,\,-0{,}00343,\,0{,}00197,\,-0{,}00055]^\mathsf T m,
\dot x(5)\approx[0{,}0286,\,-0{,}0431,\,0{,}0254,\,-0{,}0085]^\mathsf T m/s,
\ddot x(5)\approx[1{,}198,\,-0{,}639,\,0{,}352,\,-0{,}157]^\mathsf T m/s².

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