Determine a solução de vibração livre de uma corda fixa em ambas as extremidades quando suas condições são dadas por:
\begin{gathered} \dot{u}(x, 0)=0, \\\ u(x, 0)=\frac{3 h x}{L} \quad \text { se } \quad 0 \leq x \leq \frac{L}{3} \\\ u(x, 0)=\frac{3 / 2 h(L-x)}{L} \quad \text { se } \quad \frac{L}{3} \leq x \leq L \end{gathered}

Passo 1

O enunciado trata da vibração livre de uma corda de comprimento L\) com extremidades fixas. A corda satisfaz a equação de onda \[u_{tt}=c^2\,u_{xx},
com condições de contorno
u(0,t)=u(L,t)=0
e condições iniciais
\dot u(x,0)=0, \qquad u(x,0)=f(x),
onde
f(x)= \begin{cases} \dfrac{3h}{L}\,x,&0\le x\le \dfrac L3,\\[1em] \dfrac{3h}{2L}\,(L-x),&\dfrac L3\le x\le L. \end{cases}
Para resolver, usaremos separação de variáveis e expansão de (f(x)] em séries de senos.]

Passo 2

A solução geral compatível com \dot u(x,0)=0 e contornos fixos é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi c}{L}t\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr),
onde os coeficientes A_n vêm da série de Fourier–seno de f(x):
A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx.

Passo 3

Particionando a integral segundo o trecho de f(x), escrevemos
A_n =\frac{2}{L}\Biggl[ \int_{0}^{L/3}\frac{3h}{L}\,x\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx +\int_{L/3}^{L}\frac{3h}{2L}(\,L-x\,)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx \Biggr].
Denotemos
I_1=\int_{0}^{L/3}x\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx, \qquad I_2=\int_{L/3}^{L}(L-x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos por partes:
I_1 =-\frac{L^2}{3n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr) +\frac{L^2}{n^2\pi^2}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr),
I_2 =\frac{2L^2}{3n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr) +\frac{L^2}{n^2\pi^2}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr).

Passo 5

Substituindo em A_n e simplificando, os termos com \cos(n\pi/3) se anulam, restando
A_n =\frac{9h}{n^2\pi^2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr).

Passo 6

Logo, a solução da vibração livre é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9h}{n^2\pi^2}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi c}{L}t\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9h}{n^2\pi^2}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi c}{L}t\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr).

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