Apresente quais são as condições para que um fluido esteja em equilibrio estático. ( 0,75 ) 0,75

Passo 1

O enunciado pede: “Apresente quais são as condições para que um fluido esteja em equilíbrio estático.”
Informações / requisitos dados: apenas a solicitação de listar e explicar as condições de equilíbrio estático de um fluido.

Passo 2

Condição básica — velocidade nula.
A primeira e mais direta condição é que a velocidade do fluido seja zero em toda a região considerada. Em notação vetorial:
\mathbf{v}(\mathbf{x})=\mathbf{0}\quad\text{em toda a região.}ã
Explicação didática: \mathbf{v} é o campo velocidade (velocidade em cada ponto). Equilíbrio estático significa que não há movimento macroscópico do fluido — nada se desloca — portanto a velocidade deve ser identicamente nula. Na prática, antes de resolver qualquer equilíbrio, verifique se o enunciado ou o problema pede um estado sem escoamento; se sim, imponha \mathbf{v}=\mathbf{0}.

Passo 3

Equilíbrio de forças (equação de equilíbrio do continuum).
Mesmo com \mathbf{v}=\mathbf{0}, o fluido precisa satisfazer o balanço de forças (não pode haver aceleração). A equação geral de equilíbrio de forças é a equação de Cauchy sem aceleração:
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f}=\mathbf{0}.
Explicando cada termo:
  • \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões (representa as forças internas por unidade de área, com componentes normais e tangenciais).
  • \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} representa a densidade de força interna resultante por unidade de volume (força de tensão).
  • \mathbf{f} é a densidade de forças de corpo (forças por unidade de volume), normalmente \mathbf{f}=\rho\mathbf{g}, onde \rho é a densidade do fluido e \mathbf{g} é a aceleração devida a forças de corpo (por ex. gravidade).
    Essa equação diz, em palavras, que as forças internas (tensões) mais as forças de corpo devem somar zero em cada ponto para não haver movimento.

Passo 4

Propriedade dos fluidos em repouso — tensões puramente normais (pressão isotrópica).
Um ponto fundamental: um fluido em repouso não suporta esforços de cisalhamento (shear). Isso implica que o tensor de tensões tem a forma isotrópica
\boldsymbol{\sigma}=-p\,\mathbf{I},
onde:
  • p é a pressão escalar (sempre positiva quando compressiva, conforme convenção),
  • \mathbf{I} é o tensor identidade (matriz identidade 3×3).
    Explicação didática: sólidos podem ter tensões tangenciais em repouso; fluidos não — qualquer tensão tangencial faz o fluido deformar até que a tensão tangencial desapareça. Portanto, em equilíbrio estático só resta uma componente: a pressão, que atua igualmente em todas as direções.

Passo 5

Derivando a equação hidrostática.
Substituindo \boldsymbol{\sigma}=-p\,\mathbf{I} na equação de equilíbrio obtemos:
\nabla\cdot(-p\,\mathbf{I})+\rho\mathbf{g}=\mathbf{0}.
Como \nabla\cdot(p\,\mathbf{I})=\nabla p, segue
-\nabla p+\rho\mathbf{g}=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \nabla p=\rho\mathbf{g}.
Explicação didática: essa é a equação de equilíbrio hidrostático diferencial — diz que o gradiente espacial da pressão (variação da pressão de ponto a ponto) deve equilibrar as forças de corpo por unidade de volume. Em palavras: as diferenças de pressão sustentam o peso do fluido.

Passo 6

Forma usual para gravidade vertical e lei do aumento da pressão com profundidade.
Se a gravidade é vertical para baixo e escolhemos o eixo z apontando para cima, então \mathbf{g}=-g\,\mathbf{\hat{k}} com g>0. A equação \nabla p=\rho\mathbf{g} dá, para a componente vertical,
\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g.
Integração para fluido incompressível (densidade constante \rho): se a pressão na superfície livre z=z_0 é p(z_0)=p_{\rm ext} (por exemplo p_{\rm ext}=p_{\rm atm}), então
p(z)=p_{\rm ext}+\rho g\,(z_0-z).
Em particular, a pressão aumenta linearmente com a profundidade h=z_0-z:
p=p_{\rm ext}+\rho g h.
Explicação didática: essa é a fórmula clássica que você usa em provas para coluna de líquido — mostra que, quanto mais fundo, maior a pressão. Memorize a forma p=p_{\rm superf}+\rho g h e saiba derivá-la rapidamente a partir de \partial p/\partial z=-\rho g.

Passo 7

Condições de contorno e continuidade em interfaces.
Além das equações diferenciais locais, é necessário:
  • Condição na superfície livre: a pressão no ponto da superfície que está em contato com a atmosfera deve igualar a pressão externa, por ex. p=p_{\rm atm}.
  • Continuidade de pressão normal em interfaces entre fluidos: o componente normal do tensor de tensão (isto é, a pressão) é contínuo quando não há tensão de superfície ou quando efeitos de tensão superficial estiverem desprezados. Em situações com superfície livre e curvatura, pode aparecer salto de pressão devido à tensão superficial (Lei de Laplace), mas para muitos exercícios de equilíbrio hidrostático despreza-se isso.
    Didaticamente: sempre verifique as condições de contorno impostas pelo problema — elas fixam constantes de integração quando você resolve \nabla p=\rho\mathbf{g}.

Passo 8

Observações sobre compressibilidade e campos de força mais gerais.
  • Se \rho varia com a pressão (fluido compressível), é preciso uma equação de estado \rho=\rho(p) para integrar \nabla p=\rho\mathbf{g}. Em provas, informe sempre se pode assumir \rho constante.
  • Se a densidade \rho e o campo de forças \mathbf{g} não permitem que \nabla p seja um gradiente válido para um único p (situação rara em problemas elementares), não existe equilíbrio estático espacialmente consistente. Em geral, para forças conservativas (isto é, \mathbf{g}=-\nabla\Phi), integra-se a equação para obter formas do tipo p+\rho\Phi= constante (ou sua generalização). Não entre em pânico com isso em provas básicas: na maioria dos exercícios \mathbf{g} é a gravidade uniforme e \rho é constante.

Passo 9

Resumo prático para usar numa prova (checklist rápido).
  1. Imponha \mathbf{v}=\mathbf{0}.
  2. Use \boldsymbol{\sigma}=-p\,\mathbf{I} (sem tensões cisalhantes).
  3. Escreva a equação de equilíbrio \nabla p=\rho\mathbf{g}.
  4. Aplique condições de contorno (por exemplo p=p_{\rm atm} na superfície livre) e integre.
  5. Se \rho não for constante, traga a equação de estado e integre adequadamente.
Força aí — se você fizer esses passos com calma na prova, resolve quase todo problema de hidrostática clássica. Você consegue! 😉

Resposta

  • \mathbf{v}(\mathbf{x})=\mathbf{0} (velocidade nula em toda a região).
  • O tensor de tensões é puramente isotrópico: \boldsymbol{\sigma}=-p\,\mathbf{I} (sem tensões de cisalhamento em repouso).
  • Equilíbrio de forças: \nabla p=\rho\mathbf{g} (equação hidrostática).
  • Condições de contorno satisfeitas (por exemplo p=p_{\rm atm} na superfície livre) e continuidade de pressão em interfaces (salvo efeitos de tensão superficial).

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