Considere um campo de velocidade bidimensional cujo o campo de velocidade é determinado por \vec{V}=x \vec{i}+y \vec{j}. Determine:
a) A equação das linhas de corrente no plano x y \cdot(1,0)
b) A equação das linhas de trajetória para o problema para o ponto (1,1) no instante t=0 s. (1,0)

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede duas coisas. Vou listar claramente o que está dado e o que pedem:
  • Campo de velocidade: \vec{V}(x,y)=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}. Ou seja, as componentes são u(x,y)=x,\qquad v(x,y)=y.
  • Pedidos:
    (a) Determinar a equação das linhas de corrente (streamlines) no plano xy, e obter a linha de corrente que passa pelo ponto (1,0).
    (b) Determinar a equação das linhas de trajetória (pathlines) para a partícula que está no ponto (1,1) no instante t=0.
Nada mais foi fornecido, o campo é independente do tempo (é um campo estacionário).

Passo 2

O que é uma linha de corrente e como achá-la (aula rápida, calma que é simples).
  • Definição prática: uma linha de corrente é uma curva no espaço cujas tangentes em cada ponto são paralelas ao vetor velocidade naquele ponto, num dado instante. Para um campo estacionário (sem dependência explícita do tempo) as linhas de corrente são as curvas que em cada ponto satisfazem que a direção da curva coincide com \vec{V}.
  • Formulação matemática: se a linha de corrente é dada por uma curva (x(s),y(s)) parametrizada por um parâmetro s (que segue a curva), então a tangente é \big(\tfrac{dx}{ds},\tfrac{dy}{ds}\big). A condição de tangência dá \frac{dx}{ds}=u(x,y),\qquad \frac{dy}{ds}=v(x,y).Eliminando o parâmetro s obtemos a equação diferencial da forma \frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y)}{u(x,y)}.
  • Aqui, com u=x e v=y, a equação das linhas de corrente é \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.Isto é uma equação diferencial separável e simples de resolver (vou mostrar passo a passo).

Passo 3

Resolvendo a equação das linhas de corrente passo a passo:
  • Parto da equação \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
  • Trato como separável: divido por y (assumindo y\neq0 no procedimento) e multiplico por dx: \frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.
  • Integro ambos os lados: \int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{1}{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=\ln|x|+C,onde C é constante de integração.
  • Exponenciando: |y|=e^{C}|x|.Escrevendo e^{C} como uma constante K>0 e incluindo o sinal, obtemos a família geral y=K x,onde K é uma constante real (pode ser zero, positiva ou negativa). Essa é a família de retas passando pela origem.
  • Observação sobre pontos especiais: a divisão por x e y excluiu x=0 e y=0 no processo, mas vale comentar:
    • A reta y=0 (eixo x) é obtida para K=0.
    • A reta x=0 (eixo y) é também uma linha de corrente válida: no ponto x=0 temos u=0 e \vec{V}=(0,y), ou seja, a velocidade é vertical, portanto a curva x=0 é tangente ao campo. A equação y=Kx não la inclui diretamente para K infinito, por isso há que tratar x=0 separadamente.

Passo 4

Obter a linha de corrente que passa por (1,0) (aplicando condição inicial espacial):
  • A família geral é y=Kx. Para a linha de corrente que passa por (1,0) impõe-se y(1)=0, então 0=K\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad K=0.
  • Portanto a linha de corrente que passa por (1,0) é y=0,ou seja, o próprio eixo x (nota: isso bate com a observação de que em y=0 a componente vertical da velocidade é nula, v=0, logo o vetor velocidade é horizontal ali).

Passo 5

Agora as linhas de trajetória (pathlines): conceito e equações diferenciais que elas satisfazem.
  • Definição prática: a linha de trajetória de uma partícula é a curva que essa partícula descreve ao longo do tempo. Se (x(t),y(t)) é a posição da partícula que segue o fluxo, então ela satisfaz as equações do movimento \frac{dx}{dt}=u(x,y,t),\qquad \frac{dy}{dt}=v(x,y,t),com condições iniciais dadas pela posição no tempo inicial (aqui t=0).
  • No nosso caso o campo é independente do tempo (estacionário): u(x,y,t)=x e v(x,y,t)=y. Assim as EDOs para a trajetória são \frac{dx}{dt}=x,\qquad \frac{dy}{dt}=y.Essas EDOs são decoupled (separam-se) e simples de resolver por separação.

Passo 6

Resolver as EDOs das trajetórias com a condição inicial (x(0),y(0))=(1,1):
  • Para x: \frac{dx}{dt}=x \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x}\,dx = dt.Integrando desde t=0 até t e usando x(0)=1: \int_{1}^{x(t)}\frac{1}{\xi}\,d\xi=\int_{0}^{t}d\tau \quad\Rightarrow\quad \ln x(t)-\ln 1 = t.Como \ln 1=0, obtemos \ln x(t)=t \quad\Rightarrow\quad x(t)=e^{t}.
  • Para y o mesmo procedimento com y(0)=1: \frac{dy}{dt}=y \quad\Rightarrow\quad y(t)=e^{t}.
  • Logo a trajetória paramétrica da partícula que estava em (1,1) em t=0 é (x(t),y(t))=(e^{t},e^{t}),\quad t\ge 0\\ \text{(ou qualquer \(t\) se estender para \(t<0\))}.
  • Eliminando o parâmetro t (para ver a curva geométrica no plano): y=x.Assim geometricamente a trajetória é a reta y=x, e a partícula move-se ao longo dessa reta crescendo exponencialmente a distância ao longo do tempo.

Passo 7

Interpretação final e ligação entre streamlines e pathlines para este campo:
  • O campo é estacionário (não depende de t), por isso as linhas de corrente e as linhas de trajetória coincidem como curvas geométricas. De fato:
    • Famílias de linhas de corrente: y=Kx (retas radiando da origem), com as especiais y=0 e x=0.
    • A partícula que começa em (1,1) segue a reta y=x e tem posição (e^{t},e^{t}).
    • A partícula que começa em (1,0) (se for perguntado) tem trajetória (e^{t},0) e permanece sobre y=0.

Resposta

(a) Famílias de linhas de corrente: y=Kx (constante K\in\mathbb{R}). A linha de corrente que passa por (1,0) é y=0.\n
(b) Linha de trajetória da partícula com (x(0),y(0))=(1,1): parametrizada por (x(t),y(t))=(e^{t},e^{t}); geometricamente a trajetória é y=x.

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