Apresente todas as suas contas de forma clara e justifique as respostas dadas. Dois blocos estão conectados por um fio que passa por uma polia sem atrito. 0 bloco de massa
está sobre uma superfície horizontal e está conectado a uma mola de constante elástica
. O sistema é solto e o bloco de massa
cai uma distância
antes de o sistema entrar em repouso. (a) Calcule o coeficiente de atrito cinético entre o bloco de massa
e a superfície horizontal; (b) A partir da expressão encontrada, explique o que ocorre caso não haja uma mola presa ao bloco
e qual deve ser o valor do coeficiente de atrito cinético nesse caso.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois blocos conectados por um fio que passa por uma polia sem atrito. O bloco $ m_1 $ está sobre uma superfície horizontal e está ligado a uma mola com constante elástica $ k $. Quando soltamos o sistema, o bloco $ m_2 $ cai uma altura $ h $ antes de o sistema parar.
Matéria envolvida: Leis de Newton, trabalho e energia, força de atrito, e elasticidade das molas.
O que vamos precisar para resolver:
- Equações de equilíbrio de forças
- Conceitos de energia potencial elástica
- Cálculo da força de atrito cinético
Passo 2
Vamos começar analisando as forças que atuam em cada bloco quando o sistema está se movendo e quando ele para.
Bloco $ m_1 $:
- Força elástica da mola: $ F_{mola} = k \cdot x $, onde $ x $ é a deformação da mola.
- Força de atrito cinético: $ F_{atrito} = \mu \cdot N $, onde $ \mu $ é o coeficiente de atrito cinético e $ N $ é a força normal.
- Tensão do fio: $ T $.
Bloco $ m_2 $:
- Peso: $ P = m_2 \cdot g $.
- Tensão do fio: $ T $.
Como a polia é sem atrito e o fio é inextensível, a tensão é a mesma nos dois blocos.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada bloco.
Para $ m_1 $:
Na direção horizontal,
Na direção horizontal,
Mas quando o sistema para, $ a = 0 $, então:
Como $ m_1 $ está sobre uma superfície horizontal, a força normal $ N = m_1 \cdot g $, então:
Para $ m_2 $:
Na direção vertical,
Na direção vertical,
Como $ a = 0 $ quando para,
Passo 4
Agora, podemos igualar as duas expressões para $ T $:
Queremos encontrar $ \mu $, então vamos isolar $ \mu $:
Passo 5
Precisamos relacionar a deformação da mola $ x $ com a altura $ h $ que o bloco $ m_2 $ caiu. Quando o bloco $ m_2 $ cai uma altura $ h $, realiza um trabalho que é convertido em energia potencial elástica da mola e na energia dissipada pela força de atrito.
A energia potencial do bloco $ m_2 $:
Energia armazenada na mola:
Energia dissipada pelo atrito:
Pela conservação de energia:
Passo 6
Agora, vamos relacionar $ x $ com $ h $. Quando o sistema para, a mola se comprime e a distância $ x $ que a mola se comprime será igual à altura $ h $ que o bloco $ m_2 $ caiu, ou seja, $ x = h $.
Substituindo $ x = h $ na equação de conservação de energia:
Passo 7
Agora, vamos isolar $ \mu $:
Primeiro, subtraímos $ \frac{1}{2} k \cdot h^2 $ de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por $ m_1 \cdot g \cdot h $:
Simplificando:
Passo 8
Portanto, a expressão para o coeficiente de atrito cinético $ \mu $ é:
Resposta
O coeficiente de atrito cinético entre o bloco $ m_1 $ e a superfície horizontal é dado por: