Apresente todas as suas contas de forma clara e justifique as respostas dadas. Dois blocos estão conectados por um fio que passa por uma polia sem atrito. 0 bloco de massa m1 está sobre uma superfície horizontal e está conectado a uma mola de constante elástica k. O sistema é solto e o bloco de massa m2 cai uma distância h antes de o sistema entrar em repouso. (a) Calcule o coeficiente de atrito cinético entre o bloco de massa m1 e a superfície horizontal; (b) A partir da expressão encontrada, explique o que ocorre caso não haja uma mola presa ao bloco m1 e qual deve ser o valor do coeficiente de atrito cinético nesse caso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois blocos conectados por um fio que passa por uma polia sem atrito. O bloco $ m_1 $ está sobre uma superfície horizontal e está ligado a uma mola com constante elástica $ k $. Quando soltamos o sistema, o bloco $ m_2 $ cai uma altura $ h $ antes de o sistema parar.
Matéria envolvida: Leis de Newton, trabalho e energia, força de atrito, e elasticidade das molas.
O que vamos precisar para resolver:
  • Equações de equilíbrio de forças
  • Conceitos de energia potencial elástica
  • Cálculo da força de atrito cinético

Passo 2

Vamos começar analisando as forças que atuam em cada bloco quando o sistema está se movendo e quando ele para.
Bloco $ m_1 $:
  • Força elástica da mola: $ F_{mola} = k \cdot x $, onde $ x $ é a deformação da mola.
  • Força de atrito cinético: $ F_{atrito} = \mu \cdot N $, onde $ \mu $ é o coeficiente de atrito cinético e $ N $ é a força normal.
  • Tensão do fio: $ T $.
Bloco $ m_2 $:
  • Peso: $ P = m_2 \cdot g $.
  • Tensão do fio: $ T $.
Como a polia é sem atrito e o fio é inextensível, a tensão é a mesma nos dois blocos.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada bloco.
Para $ m_1 $:
Na direção horizontal,
m1
Mas quando o sistema para, $ a = 0 $, então:
T - Fatrito - Fmola = m1 cdot a
Como $ m_1 $ está sobre uma superfície horizontal, a força normal $ N = m_1 \cdot g $, então:
a = 0
T - mu cdot N - k cdot x = 0
Para $ m_2 $:
Na direção vertical,
m1
Como $ a = 0 $ quando para,
N = m1 cdot g
T - mu cdot m1 cdot g - k cdot x = 0

Passo 4

Agora, podemos igualar as duas expressões para $ T $:
T
Queremos encontrar $ \mu $, então vamos isolar $ \mu $:
mu cdot m1 cdot g + k cdot x = m2 cdot g
mu

Passo 5

Precisamos relacionar a deformação da mola $ x $ com a altura $ h $ que o bloco $ m_2 $ caiu. Quando o bloco $ m_2 $ cai uma altura $ h $, realiza um trabalho que é convertido em energia potencial elástica da mola e na energia dissipada pela força de atrito.
A energia potencial do bloco $ m_2 $:
x
Energia armazenada na mola:
h
Energia dissipada pelo atrito:
m2
Pela conservação de energia:
m2

Passo 6

Agora, vamos relacionar $ x $ com $ h $. Quando o sistema para, a mola se comprime e a distância $ x $ que a mola se comprime será igual à altura $ h $ que o bloco $ m_2 $ caiu, ou seja, $ x = h $.
Substituindo $ x = h $ na equação de conservação de energia:
x

Passo 7

Agora, vamos isolar $ \mu $:
Primeiro, subtraímos $ \frac{1}{2} k \cdot h^2 $ de ambos os lados:
mu
Agora, dividimos ambos os lados por $ m_1 \cdot g \cdot h $:
12 k cdot h^2
Simplificando:
m2 cdot g cdot h - 12 k cdot h^2 = mu cdot m1 cdot g cdot h
m1 cdot g cdot h

Passo 8

Portanto, a expressão para o coeficiente de atrito cinético $ \mu $ é:
mu

Resposta

O coeficiente de atrito cinético entre o bloco $ m_1 $ e a superfície horizontal é dado por:
m1

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