Apresente todas as suas contas de forma clara e justifique as respostas dadas. Um pêndulo consiste de uma esfera de massa
presa a um fio de comprimento
. A esfera está em repouso quando está numa posição que faz um ângulo
com a vertical. O pivot
prende o fio e não há atrito neste ponto. Encontre a tensão
do fio neste ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um pêndulo: uma esfera de massa
presa a um fio de comprimento
. A esfera está parada formando um ângulo
com a vertical. Nosso objetivo aqui é encontrar a tensão
no fio nessa posição. Para isso, vamos usar conceitos de estática e decomposição de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama de forças atuando na esfera. Existem duas forças principais:
- Força peso (
): Puxando a esfera para baixo, com intensidade , onde é a aceleração da gravidade. - Tensão no fio (
): A força que o fio exerce na esfera, direcionada ao longo do fio, fazendo um ângulo com a vertical.
Passo 3
Como a esfera está em repouso, as forças que atuam nela estão equilibradas. Isso significa que a soma das forças na direção vertical e horizontal deve ser igual a zero. Vamos decompor a tensão
em suas componentes:
- Componente vertical da tensão (
): - Componente horizontal da tensão (
):
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições de equilíbrio:
-
Na direção vertical:
A componente vertical da tensão deve equilibrar o peso da esfera. -
Na direção horizontal:
Não há movimento horizontal, então a componente horizontal da tensão deve ser igual a zero ou ser equilibrada por outras forças. Como não há atrito ou outras forças horizontais mencionadas, podemos focar na vertical.
Passo 5
Como nosso foco principal é encontrar a tensão
, podemos reorganizar a equação da direção vertical para isolar
:
Resposta
A tensão no fio é dada por: