Apresente os valores notáveis de seno e cosseno na circunferência.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar os valores “notáveis” de \sin\theta e \cos\theta na circunferência unitária. Em trigonometria, esses valores correspondem às coordenadas do ponto de ângulo \theta em torno do círculo x^2+y^2=1. Para obtermos esses valores, vamos usar:
  1. A definição de seno como a ordenada y e de cosseno como a abscissa x do ponto na circunferência.
  2. Os triângulos notáveis de ângulos 30^\circ \pi/6, 45^\circ \pi/4 e 60^\circ \pi/3, além dos casos triviais em 0 e \pi/2.

Passo 2

Em \theta=0 e \theta=\pi/2 temos:
\begin{aligned} \theta=0: &\quad \cos0 = 1,\quad \sin0 = 0,\\\ \theta=\tfrac{\pi}{2}: &\quad \cos\tfrac{\pi}{2} = 0,\quad \sin\tfrac{\pi}{2} = 1. \end{aligned}
Para os triângulos notáveis:
  • No triângulo 30^\circ 60^\circ 90^\circ de hipotenusa 1, os catetos valem \tfrac12 e \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • No triângulo 45^\circ 45^\circ 90^\circ de hipotenusa 1, cada cateto vale \tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

A partir disso, listamos os valores em \theta = 0,\;\tfrac{\pi}{6},\;\tfrac{\pi}{4},\;\tfrac{\pi}{3},\;\tfrac{\pi}{2}:
Para \theta=0:
\cos0=1,\quad \sin0=0.
Para \theta=\tfrac{\pi}{6}:
\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}.
Para \theta=\tfrac{\pi}{4}:
\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Para \theta=\tfrac{\pi}{3}:
\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\quad \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Para \theta=\tfrac{\pi}{2}:
\cos\tfrac{\pi}{2}=0,\quad \sin\tfrac{\pi}{2}=1.

Resposta

Ângulo \theta | \;0\; | \;\tfrac{\pi}{6}\; | \;\tfrac{\pi}{4}\; | \;\tfrac{\pi}{3}\; | \;\tfrac{\pi}{2}\;
Cosseno | 1 | \tfrac{\sqrt{3}}{2} | \tfrac{\sqrt{2}}{2} | \tfrac{1}{2} | 0
Seno | 0 | \tfrac{1}{2} | \tfrac{\sqrt{2}}{2} | \tfrac{\sqrt{3}}{2} | 1

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