1. Qual o significado geométrico da tangente?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o significado geométrico da tangente, um conceito que surge tanto na trigonometria de triângulos retângulos quanto na geometria analítica do plano cartesiano. Vamos ver essas duas interpretações.

Passo 2

Numa configuração de triângulo retângulo, seja \theta um ângulo agudo. Denominamos cateto oposto o lado que não toca \theta e cateto adjacente o lado que forma \theta junto com a hipotenusa. A tangente de \theta é definida pela razão
\tan(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.

Passo 3

No plano cartesiano, considere uma reta que passa pela origem e faz ângulo \theta com o eixo x. Essa reta pode ser escrita como
y = m\,x,
onde m é o coeficiente angular (inclinação). Geometricamente, esse coeficiente angular é exatamente a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x:
m = \tan(\theta).

Passo 4

Na circunferência trigonométrica (raio 1 e centro na origem), trace a reta vertical x=1. A semirreta que parte da origem formando ângulo \theta com o eixo x intersecta essa reta vertical num ponto \bigl(1,\;y\bigr). O valor dessa ordenada y é
y = \tan(\theta).
Assim, na circunferência unitária, \tan(\theta) representa o comprimento do segmento de reta entre (1,0) e o ponto de interseção, ou seja, a “altura” do ponto sobre a reta tangente à circunferência em (1,0).

Resposta

Geometricamente, \tan(\theta) é a razão entre cateto oposto e cateto adjacente em um triângulo retângulo, coincide com o coeficiente angular da reta que forma ângulo \theta com o eixo x, e na circunferência unitária aparece como o comprimento do segmento de tangente traçado em x=1.

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