Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
$\int x \cdot e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int x\,e^{-2x}\,dx.
Aqui temos um produto de funções x e e^{-2x}, então o método apropriado é a integração por partes, baseado na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = e^{-2x}\,dx.
Assim, derivando e integrando, obtemos
du = dx, \qquad v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,e^{-2x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x\,e^{-2x}\,dx = u\,v - \int v\,du = x\Bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Agora simplificamos:
\int x\,e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,x\,e^{-2x} + \tfrac12 \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,x\,e^{-2x} + \tfrac12\Bigl(-\tfrac12\,e^{-2x}\Bigr) + C,
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\int x\,e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,x\,e^{-2x} - \tfrac14\,e^{-2x} + C.

Resposta

-\Bigl(\tfrac12\,x + \tfrac14\Bigr)e^{-2x} + C.

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