Aproximação numérica com erro de Lagrange: use a série de
para estimar
utilizando termos até
. Forneça um limitante para o erro pelo termo de Lagrange da ordem seguinte.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Estimar
usando a série de truncada em termos até , com . - Fornecer um limitante (uma cota) para o erro cometido por essa aproximação usando o termo de Lagrange da ordem seguinte (ou seja, o resto associado ao polinômio de Taylor de grau 4).
Informações dadas que vou usar explicitamente:
-
. - Vou usar a série centrada em
(expansão de Maclaurin) de até o termo em . - Preciso aplicar a forma do resto de Lagrange (a expressão com a derivada de ordem seguinte avaliada em algum ponto intermediário).
Passo 2
Vamos lembrar e deduzir a série de Maclaurin de
(aulas curtas de teoria aqui, passo a passo).
- Observação útil: a derivada de
é
- Para
podemos expandir a função geométrica:
Aqui cada termo significa: o índice
varre 0,1,2,… e o sinal alterna por
.
- Integramos termo a termo essa série de
até para recuperar , pois
Integrando cada
obtemos
. Assim:
- Reindexando (colocando a soma em
em diante) chegamos à forma mais comum:
válida para
. Cada termo é
.
Passo 3
Escrevemos os primeiros termos até
(polinômio de Taylor/Maclaurin de grau 4):
Esse é o polinômio
. O próximo termo (a ordem seguinte) seria
, e o resto de Lagrange envolverá a derivada quinta avaliando em algum ponto entre
e
.
Passo 4
Agora plugamos
. Vou calcular termo a termo e somar devagarinho (pra você conseguir reproduzir na prova sem confusão).
Calculemos potências de
:
Agora os termos do polinômio
:
Somando passo a passo:
É útil dar a forma exata racional também: usando frações
obtemos
Portanto a estimativa pedida é
.]
Passo 5
Agora a parte do erro com o termo de Lagrange — explico a fórmula e aplico aqui.
A fórmula geral do resto de Lagrange para o polinômio de grau
centrado em
é:
para algum
entre
e
. Aqui
é a diferença
.
No nosso caso
e escolhemos
. Precisamos de
. Vou derivar a fórmula geral das derivadas:
- Já vimos
. - Calculando derivadas sucessivas, verifica-se a padrão:
Isso significa que para
temos
Logo o resto de Lagrange para
é
para algum
entre
e
. Observe que, como
, sabemos
.
Passo 6
Agora fazemos a cota (limitante) numérica do erro. Da expressão anterior:
Como
temos
. Portanto uma cota simples (e válida) é
Calculemos
:
Dividindo por
:
Então obtemos a cota
Opcionalmente: se quisermos uma cota mais refinada, usamos que
, e daí
mas para prova normalmente basta a cota superior
. Também note que, por ser série alternada com termos decrescentes, o erro em valor absoluto é no máximo o próximo termo
, que coincide com a cota que obtivemos.