Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries adiante: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{2 n}} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo (conjunto de x) em que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{2n}} x^{n}
converge. Informação dada importante: o termo geral da série é \dfrac{n!}{2^{2n}} x^{n}. Não há outras hipóteses escondidas — temos uma série de potências centrada em 0.
Passo 2
Vamos reescrever o termo de forma mais simples para trabalhar. Note que 2^{2n}=4^{n}. Assim o coeficiente a_n da série de potências \sum a_n x^n é
Explicação do método que usaremos: para encontrar o raio de convergência R de uma série de potências \sum a_n x^n existem duas fórmulas usuais:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}} \qquad\text{ou, quando existe o limite,}\qquad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.
Aqui podemos usar a segunda porque o quociente a_n/a_{n+1} tem expressão simples. Também vou comentar rapidamente a ideia do teste da razão: se para uma série de termos positivos b_n tivermos \lim_{n\to\infty} b_{n+1}/b_n = L, então se L<1 a série converge, se L>1 diverge; nas séries de potências isso se traduz nas fórmulas acima para R.
Interpretação didática: R=0 significa que a série de potências só pode convergir no ponto x=0. Intuitivamente isso acontece porque n! cresce muito mais rápido que qualquer potência fixa 4^{n}, então os coeficientes a_n crescem de modo que a única escolha de x que faz a_n x^n decair é x=0.
Para reforçar com outra abordagem (opcional, mas instrutiva), podemos usar a fórmula do raio com \limsup:
Pelo comportamento assintótico de n! (por exemplo, pela fórmula de Stirling n!\sim \sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n), temos (n!)^{1/n}\sim n/e\to\infty, então a \limsup é \infty e novamente
R=\frac{1}{\infty}=0.
Passo 5
Agora analisar o intervalo de convergência (conjunto de x reais onde a série converge). Já temos R=0, então a única possível abscissa de convergência é x=0. Vamos verificar:
Para x=0 a série é identicamente 0 (todos os termos são zero), portanto converge.
Para qualquer x\neq 0, considere os termos b_n=\dfrac{n!}{4^{n}} x^{n}=n!\left(\dfrac{x}{4}\right)^{n}. Aplicando a razão entre termos:
\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=(n+1)\frac{|x|}{4}.
Para qualquer x\neq 0 temos (n+1)\dfrac{|x|}{4}\to\infty quando n\to\infty. Em particular, para n grande esse quociente fica maior que 1, o que implica que |b_n| cresce sem bound e portanto |b_n|\not\to 0. Como um requisito necessário para uma série convergir é que os termos tendam a 0, concluímos que para todo x\neq 0 a série diverge.
Portanto o conjunto de convergência é exatamente \{0\}.
Resposta
Raio de convergência: R=0
Intervalo (conjunto) de convergência: \{0\}