Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries adiante:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n!}(x-1)^{n}

Passo 1

O enunciado fornece a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n!}(x-1)^{n}
e pede:
  1. o raio de convergência da série;
  2. o intervalo de convergência (ou seja, para quais x a série converge).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O centro da série é x=1 (porque os termos são em (x-1)^n).
  • O coeficiente geral da potência (x-1)^n é a_n=\dfrac{2}{n!}.
  • A soma começa em n=1.

Passo 2

Vamos escolher um método prático para séries de potências. Uma ferramenta muito usada é o critério da razão (teste da razão) para séries com fatoriais, porque ele lida bem com quocientes envolvendo n!. Antes de aplicar, explico rapidamente o que é o teste da razão e por que ele serve para achar o raio de convergência.
O teste da razão (forma para séries de potências): dados termos a_n (x-c)^n de uma série centrada em c, consideramos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n (x-c)^n}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Para determinar o raio R usamos a condição que a série converge quando |x-c|<R, e o valor de R é obtido como o maior valor de |x-c| que torna L<1. Muitas vezes o limite aparece na forma |x-c|/R e daí obtemos R.

Passo 3

Aplique o teste da razão aos termos da nossa série. Aqui a_n=\dfrac{2}{n!} e c=1. Calculemos o quociente absoluto entre termos consecutivos:
\left|\frac{a_{n+1}(x-1)^{n+1}}{a_n (x-1)^n}\right| = \left|\frac{\dfrac{2}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}}{\dfrac{2}{n!}(x-1)^n}\right|.
Observe que os fatores 2 se cancelam e (x-1)^n também cancela parcialmente.

Passo 4

Continuando a simplificação do quociente:
\left|\frac{\dfrac{2}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}}{\dfrac{2}{n!}(x-1)^n}\right| = \left|\frac{1}{n+1}\,(x-1)\right| = \frac{|x-1|}{n+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|}{n+1}.
Como n+1\to\infty, para qualquer valor fixo e finito de |x-1| temos
L=0.

Passo 5

Interpretação do resultado: o limite L=0 é menor que 1 para todo x\in\mathbb{R}. Pelo teste da razão, isso significa que a série converge absolutamente para qualquer x real. Em termos do raio de convergência, isso significa que o raio é infinito, ou seja R=\infty.
Explicando de maneira bem prática: como o fator n! no denominador cresce muito mais rápido do que qualquer potência de |x-1|, os termos vão a zero rápido e a série converge para qualquer x.

Passo 6

Intervalo de convergência: como R=\infty, a série converge para todos os x\in(-\infty,\infty). Não há “endpoints” a testar separadamente porque não existe uma borda finita do intervalo — a região de convergência é toda a reta real.
Comentário adicional (útil para checar): somando a série explicitamente obtemos uma forma conhecida. Lembrando a série de Taylor de e^t:
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
se colocarmos t=x-1 e multiplicarmos por 2 e subtrairmos o termo n=0 (porque nossa soma começa em n=1), vemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n!}(x-1)^n = 2\big(e^{x-1}-1\big),
o que confirma convergência para todo x.

Resposta

Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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