Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries adiante: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n!}(x-1)^{n}
Passo 1
O enunciado fornece a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n!}(x-1)^{n}
e pede:
o raio de convergência da série;
o intervalo de convergência (ou seja, para quais x a série converge).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O centro da série é x=1 (porque os termos são em (x-1)^n).
O coeficiente geral da potência (x-1)^n é a_n=\dfrac{2}{n!}.
A soma começa em n=1.
Passo 2
Vamos escolher um método prático para séries de potências. Uma ferramenta muito usada é o critério da razão (teste da razão) para séries com fatoriais, porque ele lida bem com quocientes envolvendo n!. Antes de aplicar, explico rapidamente o que é o teste da razão e por que ele serve para achar o raio de convergência.
O teste da razão (forma para séries de potências): dados termos a_n (x-c)^n de uma série centrada em c, consideramos
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Para determinar o raio R usamos a condição que a série converge quando |x-c|<R, e o valor de R é obtido como o maior valor de |x-c| que torna L<1. Muitas vezes o limite aparece na forma |x-c|/R e daí obtemos R.
Passo 3
Aplique o teste da razão aos termos da nossa série. Aqui a_n=\dfrac{2}{n!} e c=1. Calculemos o quociente absoluto entre termos consecutivos:
Como n+1\to\infty, para qualquer valor fixo e finito de |x-1| temos
L=0.
Passo 5
Interpretação do resultado: o limite L=0 é menor que 1 para todo x\in\mathbb{R}. Pelo teste da razão, isso significa que a série converge absolutamente para qualquer x real. Em termos do raio de convergência, isso significa que o raio é infinito, ou seja R=\infty.
Explicando de maneira bem prática: como o fator n! no denominador cresce muito mais rápido do que qualquer potência de |x-1|, os termos vão a zero rápido e a série converge para qualquer x.
Passo 6
Intervalo de convergência: como R=\infty, a série converge para todos os x\in(-\infty,\infty). Não há “endpoints” a testar separadamente porque não existe uma borda finita do intervalo — a região de convergência é toda a reta real.
Comentário adicional (útil para checar): somando a série explicitamente obtemos uma forma conhecida. Lembrando a série de Taylor de e^t:
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
se colocarmos t=x-1 e multiplicarmos por 2 e subtrairmos o termo n=0 (porque nossa soma começa em n=1), vemos que