1. (Aproximação Numérica) Uma sequência de aproximação numérica gera valores x_{n} que se aproximam da solução exata x^{*} buscada em determinados problemas. Quando a sequência converge, os valores de x_{n} ficam cada vez mais próximos de x^{*} conforme n aumenta. A convergência dessas sequências depende da escolha inicial x_{0} e das características da função f(x), como sua derivada f^{\prime}(x).
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função f(x). Dado um valor inicial x_{0}, as aproximações subsequentes x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots são obtidas pela fórmula:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}
onde f^{\prime}\left(x_{n}\right) é a derivada de f(x) avaliada em x_{n}.
Considere a função f(x)=x^{2}-2, cuja raiz exata é \sqrt{2}. O método de Newton-Raphson será usado para encontrar essa raiz a partir de um valor inicial x_{0}=1.5.
(a) Utilize o método de Newton-Raphson para calcular as três primeiras aproximações x_{1}, x_{2} e x_{3}.
(b) Explique como a sequência \left\{x_{n}\right\} se aproxima da raiz exata \sqrt{2}.
(c) O método está convergindo rapidamente para a solução? Qual seria a importância de uma convergência rápida em um problema de otimização em engenharia?

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson na função
f(x)=x^{2}-2
com valor inicial x_{0}=1{,}5. Precisamos: (a) calcular x_{1}, x_{2} e x_{3}; (b) explicar como a sequência \{x_{n}\} se aproxima de \sqrt{2}; (c) discutir se a convergência é rápida e por que isso importa em otimização.

Passo 2

O método de Newton–Raphson define
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
e aqui temos
f'(x)=2x.

Passo 3

Para x_{1}, substituímos x_{0}=1{,}5:
x_{1}=1{,}5-\frac{1{,}5^{2}-2}{2\cdot1{,}5} =1{,}5-\frac{2{,}25-2}{3} =1{,}5-\frac{0{,}25}{3} =1{,}4166667.

Passo 4

Para x_{2}, usamos x_{1}=1{,}4166667:
x_{2}=1{,}4166667-\frac{1{,}4166667^{2}-2}{2\cdot1{,}4166667} \approx1{,}4166667-\frac{0{,}0069444}{2{,}8333334} \approx1{,}4142157.

Passo 5

Para x_{3}, com x_{2}=1{,}4142157:
x_{3}=1{,}4142157-\frac{1{,}4142157^{2}-2}{2\cdot1{,}4142157} \approx1{,}4142157-\frac{0{,}0000060}{2{,}8284314} \approx1{,}41421356.

Passo 6

A sequência \{x_{n}\} converge para \sqrt{2} porque o erro em cada iteração é aproximadamente o quadrado do erro anterior (convergência quadrática). Isso faz com que, depois de poucos passos, x_{n} fique extremamente próximo de \sqrt{2}.

Passo 7

Sim, o método converge muito rapidamente (quadraticamente). Em problemas de otimização em engenharia, convergência rápida significa menos iterações, menor custo computacional e respostas mais precisas em tempo hábil, o que é crucial para aplicações em tempo real ou em sistemas com recursos limitados.

Resposta

(a) x_{1}\approx1{,}4166667, x_{2}\approx1{,}4142157, x_{3}\approx1{,}41421356
(b) A sequência converge quadraticamente a \sqrt{2}, ou seja, o erro se anula muito rápido a cada iteração.
(c) Sim, converge rapidamente; em otimização, isso reduz custo computacional e garante soluções precisas em menos passos.

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