- (Aproximação Numérica) Uma sequência de aproximação numérica gera valores
que se aproximam da solução exata
buscada em determinados problemas. Quando a sequência converge, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
conforme
aumenta. A convergência dessas sequências depende da escolha inicial
e das características da função
, como sua derivada
.
Em muitos problemas de engenharia, encontrar soluções exatas para equações ou funções complexas nem sempre é possível. Nesses casos, é comum utilizar o método descrito anteriormente.
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função
. Dado um valor inicial
, as aproximações subsequentes
são obtidas pela fórmula:
onde
é a derivada de
avaliada em
.
Considere a função
, cuja raiz exata é
. O método de Newton-Raphson será usado para encontrar essa raiz a partir de um valor inicial
.
(a) Utilize o método de Newton-Raphson para calcular as três primeiras aproximações
,
e
.
(b) Explique como a sequência
se aproxima da raiz exata
.
(c) O método está convergindo rapidamente para a solução? Qual seria a importância de uma convergência rápida em um problema de otimização em engenharia?
Um exemplo clássico é o método de Newton-Raphson, que usa uma sequência de aproximações para encontrar as raízes de uma função
Considere a função
(a) Utilize o método de Newton-Raphson para calcular as três primeiras aproximações
(b) Explique como a sequência
(c) O método está convergindo rapidamente para a solução? Qual seria a importância de uma convergência rápida em um problema de otimização em engenharia?
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson na função
com valor inicial
. Precisamos: (a) calcular
,
e
; (b) explicar como a sequência
se aproxima de
; (c) discutir se a convergência é rápida e por que isso importa em otimização.
Passo 2
O método de Newton–Raphson define
e aqui temos
Passo 3
Para
, substituímos
:
Passo 4
Para
, usamos
:
Passo 5
Para
, com
:
Passo 6
A sequência
converge para
porque o erro em cada iteração é aproximadamente o quadrado do erro anterior (convergência quadrática). Isso faz com que, depois de poucos passos,
fique extremamente próximo de
.
Passo 7
Sim, o método converge muito rapidamente (quadraticamente). Em problemas de otimização em engenharia, convergência rápida significa menos iterações, menor custo computacional e respostas mais precisas em tempo hábil, o que é crucial para aplicações em tempo real ou em sistemas com recursos limitados.
Resposta
(a)
,
,
(b) A sequência converge quadraticamente a , ou seja, o erro se anula muito rápido a cada iteração.
(c) Sim, converge rapidamente; em otimização, isso reduz custo computacional e garante soluções precisas em menos passos.
(b) A sequência converge quadraticamente a
(c) Sim, converge rapidamente; em otimização, isso reduz custo computacional e garante soluções precisas em menos passos.