1. (Engenharia Mecânica e de Materiais)A eficiência estrutural de um componente está relacionada à sua capacidade de suportar cargas em relação ao seu peso. Quando a geometria é otimizada, a distribuição de material permite que o componente seja mais leve e, ao mesmo tempo, tenha maior resistência às tensões. Nestas situações, a sequência de Fibonacci é usada para aumentar o comprimento de cada segmento gradualmente, garantindo que o componente tenha uma forma que distribua melhor as tensões internas, sem aumentar desnecessariamente o volume ou o peso.
    Um grupo de pesquisadores está utilizando a sequência de Fibonacci para otimizar a geometria de um componente estrutural. A ideia é distribuir elementos de um componente de maneira que o material suporte melhor a carga, minimizando o peso total.
    Suponha que o componente seja formado por 9 segmentos consecutivos, cujo comprimento é determinado pela sequência de Fibonacci. A soma desses comprimentos representa o comprimento total do componente, e a relação entre o comprimento total e o volume do componente influencia diretamente sua eficiência estrutural.
    (a) Calcule o comprimento total do componente somando os comprimentos dos 9 segmentos que seguem a sequência de Fibonacci.
    (b) Sabendo que o volume do componente é proporcional ao comprimento total, explique por que o uso da sequência de Fibonacci otimiza a eficiência estrutural do componente, em termos de resistência e distribuição de tensões.

Passo 1

O enunciado pede (a) somar os comprimentos de 9 segmentos cujos comprimentos seguem a sequência de Fibonacci e (b) explicar por que essa escolha de geometria otimiza a eficiência estrutural, sabendo que o volume é proporcional ao comprimento total. O conteúdo envolve a definição da sequência de Fibonacci e conceitos de distribuição de tensões em componentes estruturais.

Passo 2

Definimos a sequência de Fibonacci por
\begin{aligned} F_1 &= 1,\\\ F_2 &= 1,\\\ F_n &= F_{n-1} + F_{n-2}\quad(n\ge3). \end{aligned}
Os nove primeiros termos são
F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_3=2,\quad F_4=3,\quad F_5=5,\quad F_6=8,\quad F_7=13,\quad F_8=21,\quad F_9=34

Passo 3

Somamos esses nove termos para obter o comprimento total L:
L = \sum_{i=1}^9 F_i = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 88.

Passo 4

Como o volume V do componente é proporcional ao comprimento total ( V\propto L), minimizar L reduz o peso. A sequência de Fibonacci cresce de forma graduada, com razão aproximada à razão áurea
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,618.
Esse aumento suave evita descontinuidades bruscas na geometria, distribuindo melhor as tensões internas e reduzindo concentrações de esforço. Assim, usa-se menos material onde não é necessário e reforça-se progressivamente onde a carga é maior, otimizando a relação resistência-peso.

Resposta

(a) O comprimento total é 88 unidades de comprimento.
(b) A sequência de Fibonacci impõe um crescimento gradual dos segmentos com razão aproximada à razão áurea, garantindo transições suaves na geometria. Isso distribui as tensões internas de modo mais uniforme, evita concentrações de esforço e minimiza o volume (e o peso) para uma dada resistência.

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