- (Engenharia Mecânica e de Materiais)A eficiência estrutural de um componente está relacionada à sua capacidade de suportar cargas em relação ao seu peso. Quando a geometria é otimizada, a distribuição de material permite que o componente seja mais leve e, ao mesmo tempo, tenha maior resistência às tensões. Nestas situações, a sequência de Fibonacci é usada para aumentar o comprimento de cada segmento gradualmente, garantindo que o componente tenha uma forma que distribua melhor as tensões internas, sem aumentar desnecessariamente o volume ou o peso.
Um grupo de pesquisadores está utilizando a sequência de Fibonacci para otimizar a geometria de um componente estrutural. A ideia é distribuir elementos de um componente de maneira que o material suporte melhor a carga, minimizando o peso total.
Suponha que o componente seja formado por 9 segmentos consecutivos, cujo comprimento é determinado pela sequência de Fibonacci. A soma desses comprimentos representa o comprimento total do componente, e a relação entre o comprimento total e o volume do componente influencia diretamente sua eficiência estrutural.
(a) Calcule o comprimento total do componente somando os comprimentos dos 9 segmentos que seguem a sequência de Fibonacci.
(b) Sabendo que o volume do componente é proporcional ao comprimento total, explique por que o uso da sequência de Fibonacci otimiza a eficiência estrutural do componente, em termos de resistência e distribuição de tensões.
Um grupo de pesquisadores está utilizando a sequência de Fibonacci para otimizar a geometria de um componente estrutural. A ideia é distribuir elementos de um componente de maneira que o material suporte melhor a carga, minimizando o peso total.
Suponha que o componente seja formado por 9 segmentos consecutivos, cujo comprimento é determinado pela sequência de Fibonacci. A soma desses comprimentos representa o comprimento total do componente, e a relação entre o comprimento total e o volume do componente influencia diretamente sua eficiência estrutural.
(a) Calcule o comprimento total do componente somando os comprimentos dos 9 segmentos que seguem a sequência de Fibonacci.
(b) Sabendo que o volume do componente é proporcional ao comprimento total, explique por que o uso da sequência de Fibonacci otimiza a eficiência estrutural do componente, em termos de resistência e distribuição de tensões.
Passo 1
O enunciado pede (a) somar os comprimentos de 9 segmentos cujos comprimentos seguem a sequência de Fibonacci e (b) explicar por que essa escolha de geometria otimiza a eficiência estrutural, sabendo que o volume é proporcional ao comprimento total. O conteúdo envolve a definição da sequência de Fibonacci e conceitos de distribuição de tensões em componentes estruturais.
Passo 2
Definimos a sequência de Fibonacci por
Os nove primeiros termos são
Passo 3
Somamos esses nove termos para obter o comprimento total
:
Passo 4
Como o volume
do componente é proporcional ao comprimento total (
), minimizar
reduz o peso. A sequência de Fibonacci cresce de forma graduada, com razão aproximada à razão áurea
Esse aumento suave evita descontinuidades bruscas na geometria, distribuindo melhor as tensões internas e reduzindo concentrações de esforço. Assim, usa-se menos material onde não é necessário e reforça-se progressivamente onde a carga é maior, otimizando a relação resistência-peso.
Resposta
(a) O comprimento total é
unidades de comprimento.
(b) A sequência de Fibonacci impõe um crescimento gradual dos segmentos com razão aproximada à razão áurea, garantindo transições suaves na geometria. Isso distribui as tensões internas de modo mais uniforme, evita concentrações de esforço e minimiza o volume (e o peso) para uma dada resistência.
(b) A sequência de Fibonacci impõe um crescimento gradual dos segmentos com razão aproximada à razão áurea, garantindo transições suaves na geometria. Isso distribui as tensões internas de modo mais uniforme, evita concentrações de esforço e minimiza o volume (e o peso) para uma dada resistência.