Ao aproximar a menor raiz da equação f(x)=(x-1)^{2}(x-3) pelo método de Newton-Raphson obtivemos, na vigésima iteração o erro e_{20}=0.3 \times 10^{-8}. Determine um limite superior do erro e_{21} cometido na vigésima primeira iteração.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=(x-1)^{2}(x-3)
e pede a aproximação da menor raiz r=1, que é de multiplicidade m=2. Pelo método de Newton-Raphson, na iteração n=20 o erro é
e_{20}=0.3\times10^{-8}.
Queremos um limite superior para o erro na iteração seguinte, e_{21}.

Passo 2

Quando a raiz é múltipla de ordem m, o método de Newton converge apenas de forma linear, obedecendo ao fator
\lim_{n\to\infty}\frac{e_{n+1}}{e_{n}}=\frac{m-1}{m}.
Aqui m=2, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{e_{n+1}}{e_{n}}=\frac12
e para n grande temos aproximadamente
e_{n+1}\le\frac12\,e_{n}.

Passo 3

Aplicando esse fator ao valor dado:
e_{21}\le\frac12\,e_{20} =\frac12\bigl(0.3\times10^{-8}\bigr) =0.15\times10^{-8} =1.5\times10^{-9}.

Resposta

Um limite superior para e_{21} é
1.5\times10^{-9}.

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