Aproxime
com precisão de cinco casas decimais usando a série de Maclaurin de
.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
com precisão de cinco casas decimais usando a série de Maclaurin de
. Vamos usar a expansão de Maclaurin, junto com o critério de erro (resto de Taylor), para decidir quantos termos são necessários.
Passo 2
A série de Maclaurin de
é
Chamando de
a soma dos primeiros
termos, temos
e o resto de ordem
é
.
Passo 3
Pelo teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, existe
entre
e
tal que
Como todas as derivadas de
têm módulo no máximo
, fica
Queremos
para garantir cinco casas decimais.
Passo 4
Testamos
:
Portanto basta tomar
.
Passo 5
O polinômio de grau
(soma até
) é
Arredondando para cinco casas decimais, obtemos