Aproxime \cos 0,1 com precisão de cinco casas decimais usando a série de Maclaurin de \cos x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \cos(0,1) com precisão de cinco casas decimais usando a série de Maclaurin de \cos x. Vamos usar a expansão de Maclaurin, junto com o critério de erro (resto de Taylor), para decidir quantos termos são necessários.

Passo 2

A série de Maclaurin de \cos x é
\cos x \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Chamando de S_N(x) a soma dos primeiros N+1 termos, temos
S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},
e o resto de ordem N é R_N(x)=\cos x - S_N(x).

Passo 3

Pelo teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, existe \xi entre 0 e x tal que
R_N(x)=\frac{\cos^{(2N+2)}(\xi)}{(2N+2)!}\,x^{2N+2}.
Como todas as derivadas de \cos têm módulo no máximo 1, fica
|R_N(x)|\le\frac{|x|^{2N+2}}{(2N+2)!}.
Queremos |R_N(0,1)|<10^{-5} para garantir cinco casas decimais.

Passo 4

Testamos N=1:
|R_1(0,1)|\le\frac{(0,1)^{4}}{4!} =\frac{10^{-4}}{24} \approx4{,}1667\times10^{-6} <10^{-5}.
Portanto basta tomar N=1.

Passo 5

O polinômio de grau 2 (soma até N=1) é
S_1(0,1)=1-\frac{(0,1)^2}{2!} =1-\frac{0,01}{2} =1-0,005 =0,995.
Arredondando para cinco casas decimais, obtemos
\cos(0,1)\approx0,99500.

Resposta

\cos(0,1)\approx0,99500

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