Quarta Questão (2,0pts): Use uma série de potências para aproximar o valor de \cos (1) com erro menor que 10^{-4}. Sua resposta pode ser dada na forma de uma soma finita.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \cos(1) usando seu desenvolvimento em série de potências (Taylor em torno de zero) de forma que o erro seja menor que 10^{-4}. Vamos usar a fórmula geral da série de Taylor de \cos(x) e estimar o resto pelo teorema de Lagrange.

Passo 2

Sabemos que, para todo x,\r
\cos(x) \;=\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\,x^{2k}}{(2k)!}\r
Logo, em x=1,\r
\cos(1) = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k)!} + R_n(1),\r
onde R_n(1) é o resto após os n+1 termos.

Passo 3

Pelo teorema do resto de Lagrange, existe \xi entre 0 e 1 tal que\r
R_n(1) = \frac{\cos^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\,1^{2n+2}.\r
Como toda derivada de ordem arbitrária de \cos ou \sin tem valor em módulo no máximo 1, temos\r
\bigl|R_n(1)\bigr|\le \frac{1}{(2n+2)!}.\r
Queremos \frac{1}{(2n+2)!}<10^{-4}. Testando valores inteiros de n:\r
  • Para n=2, \tfrac{1}{6!}=1/720\approx1,4\times10^{-3} (ainda grande).\r
  • Para n=3, \tfrac{1}{8!}=1/40320\approx2,48\times10^{-5}<10^{-4}.\r
    \r
    Portanto, basta tomar n=3.

Passo 4

Com n=3, o polinômio de Taylor de ordem 6 em x=1 é\r
T_6(1)=\sum_{k=0}^{3}\frac{(-1)^k}{(2k)!} =1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}.\r
Calculando:\r
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} = \frac{389}{720}\approx0,540278.
Esse valor difere de \cos(1) por menos de 2,5\times10^{-5}, que é inferior a 10^{-4}.

Resposta

\cos(1)\approx\sum_{k=0}^{3}\frac{(-1)^k}{(2k)!} =1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}.

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