Use o teste da razão para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{2}+1}

Passo 1

Temos a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k^{2}+1}
e queremos aplicar o teste da razão, que pede o cálculo do limite
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|
com a_{k} = \tfrac{k}{k^{2}+1}. Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Escrevemos a razão entre dois termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{\frac{k+1}{(k+1)^{2}+1}}{\frac{k}{k^{2}+1}} = \frac{k+1}{(k+1)^{2}+1}\,\cdot\frac{k^{2}+1}{k}.

Passo 3

Simplificamos a expressão e achamos o limite quando k\to\infty:
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{(k+1)\,(k^{2}+1)}{k\bigl((k+1)^{2}+1\bigr)} = \frac{k^{3}+k^{2}+k+1}{k^{3}+2k^{2}+k}
e
L = \lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}+k^{2}+k+1}{k^{3}+2k^{2}+k} = \frac{1+0+0+0}{1+0+0} = 1.

Passo 4

Como L=1, o teste da razão é inconclusivo para esta série.

Resposta

O teste da razão é inconclusivo.

Exercícios relacionados