Um isótopo radioativo decai segundo o modelo:
N(t)=N_{0} e^{-\lambda t}
Foram obtidas as seguintes medições experimentais:
Tempo t(\mathrm{~s}) Quantidade N(t)
0 1000
1 820
2 670
3 550
4 450
(a) Linearize o modelo para poder aplicar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ).
(b) Aplique o MMQ para encontrar o valor estimado de \lambda.
(c) Calcule o coeficiente de determinação R^{2} para avaliar a qualidade do ajuste.
(d) Esboce o gráfico dos dados e da curva ajustada.
(e) Interprete o valor de \lambda no contexto físico do decaimento.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de decaimento
N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}
e as medições
\begin{array}{c|ccccc} t_i\;(\mathrm{s}) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\hline N_i &1000&820&670&550&450 \end{array}
Queremos (a) linearizar para usar MMQ, (b) estimar \lambda, (c) calcular R^2, (d) esboçar o ajuste e (e) interpretar \lambda.

Passo 2

Para linearizar, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln N(t)=\ln N_{0}-\lambda t.
Definindo
X_i = t_i,\quad Y_i = \ln N_i,
ficamos com o modelo linear
Y_i = a + b\,X_i,\quad a = \ln N_{0},\;\; b = -\lambda.

Passo 3

Calculamos X_i,Y_i e os somatórios necessários n=5:
\begin{array}{c|ccccc} X_i &0&1&2&3&4\\hline Y_i=\ln N_i &6,9078&6,7093&6,5073&6,3099&6,1093 \end{array}
\sum X_i =10,\quad \sum X_i^2=30,\quad \sum Y_i=32,5436,\quad \sum X_iY_i=63,0908.

Passo 4

Os coeficientes pelo MMQ são
b = \frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2} =\frac{5\cdot63,0908 - 10\cdot32,5436}{5\cdot30 - 10^2} \approx -0,1996,
a = \frac{\sum Y_i - b\,\sum X_i}{n} =\frac{32,5436 - (-0,1996)\cdot10}{5} \approx 6,9079.
Logo
\hat\lambda = -b \approx 0,1996\;\mathrm{s^{-1}}, \qquad \hat N_{0}=e^{a}\approx e^{6,9079}\approx1000.

Passo 5

Para R^2 definimos
\bar Y = \frac{\sum Y_i}{n}\approx6,5087,
\mathrm{SSR}=\sum(\hat Y_i - \bar Y)^2\approx0,3983, \quad \mathrm{SST}=\sum(Y_i - \bar Y)^2\approx0,3986,
R^2 = \frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}}\approx0,9983\approx0,999.

Passo 6

O gráfico mostra os pontos (t_i,N_i) e a curva ajustada
\hat N(t)=1000\,e^{-0,1996\,t}.
Os pontos caem bem sobre a curva exponencial decrescente, indicando ótimo ajuste.

Passo 7

Fisicamente, \lambda é a constante de decaimento: a probabilidade por segundo de um núcleo decair. O tempo de meia‐vida é
T_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda}\approx\frac{0,693}{0,1996}\approx3,47\;\mathrm{s}.

Resposta

(a) Linearização: \ln N = \ln N_{0} - \lambda t.
(b) \displaystyle \hat\lambda\approx0,1996\;\mathrm{s^{-1}}.
(c) \displaystyle R^2\approx0,999.
(d) Gráfico: pontos experimentais alinhados numa curva \hat N(t)=1000 e^{-0,1996t}.
(e) \lambda é a constante de decaimento (probabilidade de decaimento por segundo); T_{1/2}\approx3,47 s.

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