Aproxime as funções abaixo pelo seu polinômio de Taylor de grau 3 em torno de x_{0}=0 no intervalo [-1 / 2,1 / 2] e calcule o erro máximo cometido ao fazer tal aproximação, neste intervalo. Repita o exercício para o polinômio de Taylor de grau 4.
f(x)=(1+x)^{-3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
  • Pede-se aproximar a função f(x)=(1+x)^{-3} por seu polinômio de Taylor de grau 3 e de grau 4 em torno de x_{0}=0 (ou seja, as séries de Maclaurin truncadas) no intervalo [-1/2,\,1/2].\n
  • Além de obter os polinômios, pede-se calcular o erro máximo cometido por cada aproximação nesse intervalo, isto é, calcular \max_{x\in[-1/2,\,1/2]} |f(x)-T_n(x)| para n=3 e n=4.\n
  • Informações úteis dadas: a função é f(x)=(1+x)^{-3}, o centro é x_{0}=0 e o intervalo é [-1/2,1/2].\n

Passo 2

Como obter os coeficientes do polinômio de Taylor (a ideia): fórmula geral e como calcular as derivadas\n
  • O polinômio de Taylor de grau n em torno de 0 (Maclaurin) é
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.
  • Então precisamos de f^{(k)}(0) para k=0,1,\dots,4 (e também k=5 se quisermos usar o termo seguinte na forma do resto de Lagrange). Vamos achar uma fórmula geral para as derivadas para não ficar fazendo diferenciações repetidas.\n
  • Observe que f(x)=(1+x)^{-3}. Por derivação repetida (ou por indução), verifica-se a fórmula
f^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{(k+2)!}{2!}(1+x)^{-3-k},
onde (k+2)!/2!=\dfrac{(k+2)!}{2}. Vou usar essa fórmula para obter os valores em x=0.\n

Passo 3

Calcular explicitamente f^{(k)}(0) e os coeficientes para k=0,1,2,3,4,5\n
  • Para k=0:
f(0)=(1+0)^{-3}=1.
  • Para k=1:
f'(0)=(-1)^1\frac{3!}{2!}(1+0)^{-4}=-\frac{6}{2}=-3.
  • Para k=2:
f''(0)=(-1)^2\frac{4!}{2!}=+\frac{24}{2}=12.
  • Para k=3:
f^{(3)}(0)=(-1)^3\frac{5!}{2!}=-\frac{120}{2}=-60.
  • Para k=4:
f^{(4)}(0)=(-1)^4\frac{6!}{2!}=+\frac{720}{2}=360.
  • Para k=5 (útil para o resto de Lagrange para n=4):
f^{(5)}(0)=(-1)^5\frac{7!}{2!}=-\frac{5040}{2}=-2520.
  • Agora os coeficientes \frac{f^{(k)}(0)}{k!} ficam:
\frac{f(0)}{0!}=1,\qquad \frac{f'(0)}{1!}=-3,\qquad \frac{f''(0)}{2!}=\frac{12}{2}=6,
\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=\frac{-60}{6}=-10,\qquad \frac{f^{(4)}(0)}{4!}=\frac{360}{24}=15.
Esses coeficientes são os mesmos que se obtém pela expansão binomial generalizada; portanto os termos da série são 1,-3,6,-10,15,\dots.

Passo 4

Escrever os polinômios de Taylor T_3 e T_4\n
  • Usando os coeficientes calculados:
T_3(x)=1-3x+6x^2-10x^3.
T_4(x)=1-3x+6x^2-10x^3+15x^4.
Estes são os polinômios pedidos (Maclaurin truncados nos graus 3 e 4).

Passo 5

Explicar a fórmula do resto de Lagrange e como usá-la para obter uma cota do erro máximo\n
  • A forma do resto de Lagrange (para expansão em torno de 0) diz que, para cada x existe \xi entre 0 e x tal que
R_n(x)=f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,x^{\,n+1}.
  • Para obter uma cota para |R_n(x)| num intervalo, escolhemos M=\displaystyle\max_{\xi\in I}|f^{(n+1)}(\xi)| (onde I é um intervalo que contém todos os \xi possíveis) e então
|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x|^{\,n+1}.
  • No nosso problema, para qualquer x\in[-1/2,1/2] o ponto \xi que aparece na fórmula está entre 0 e x, portanto \xi\in[-1/2,1/2]. Assim podemos tomar
M=\max_{\xi\in[-1/2,1/2]}\big|f^{(n+1)}(\xi)\big|.

Passo 6

Aplicar a cota do resto para n=3 (polinômio de grau 3)\n
  • Precisamos de f^{(4)}(x). Pela fórmula geral,
f^{(4)}(x)=\frac{6!}{2!}(1+x)^{-7}=360(1+x)^{-7},
(obs.: o sinal é + porque (-1)^4=+1).\n
  • Em \xi\in[-1/2,1/2] temos 1+\xi\in[1/2,3/2]. Como (1+\xi)^{-7} é decrescente com 1+\xi, o máximo de (1+\xi)^{-7} no intervalo ocorre em \xi=-1/2, dando (1+\xi)^{-7}=(1/2)^{-7}=2^{7}=128.\n
  • Portanto
M=\max_{\xi\in[-1/2,1/2]}|f^{(4)}(\xi)|=360\cdot 128=46080.
  • A cota para o resto é então, para |x|\le 1/2,
|R_3(x)|\le\frac{46080}{4!}|x|^{4}=\frac{46080}{24}|x|^{4}=1920\,|x|^{4}.
  • O máximo desta cota no intervalo |x|\le 1/2 ocorre em |x|=1/2, então
\max_{x\in[-1/2,1/2]}|R_3(x)|\le 1920\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=1920\cdot\frac{1}{16}=120.
  • Conclusão (cota pelo resto de Lagrange): o erro máximo ao aproximar por T_3 em [-1/2,1/2] é no máximo 120. (Observação: esta é uma cota segura, possivelmente conservadora.)

Passo 7

Aplicar a cota do resto para n=4 (polinômio de grau 4)\n
  • Precisamos de f^{(5)}(x). Pela fórmula,
f^{(5)}(x)=-\frac{7!}{2!}(1+x)^{-8}=-2520(1+x)^{-8}.
  • Em módulo, |f^{(5)}(\xi)|=2520(1+\xi)^{-8} e o máximo em \xi\in[-1/2,1/2] ocorre novamente em \xi=-1/2, com (1/2)^{-8}=2^{8}=256.\n
  • Então
M=\max_{\xi\in[-1/2,1/2]}|f^{(5)}(\xi)|=2520\cdot256=645120.
  • A cota para o resto é, para |x|\le 1/2,
|R_4(x)|\le\frac{645120}{5!}|x|^{5}=\frac{645120}{120}|x|^{5}=5376\,|x|^{5}.
  • O máximo desta cota no intervalo ocorre em |x|=1/2, então
\max_{x\in[-1/2,1/2]}|R_4(x)|\le 5376\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=5376\cdot\frac{1}{32}=168.
  • Conclusão (cota pelo resto de Lagrange): o erro máximo ao aproximar por T_4 em [-1/2,1/2] é no máximo 168. (Também é uma cota segura e conservadora.)

Passo 8

Calcular os erros reais nos extremos do intervalo (para ter noção da qualidade real da aproximação) e encontrar o erro máximo efetivo observado\n
  • Em vez de só a cota (que pode ser bem frouxa), podemos calcular explicitamente f(x)-T_n(x) nos pontos extremos x=\pm 1/2 e em x=0 (onde o erro é 0) para ver onde o erro é maior na prática.\n
  • Valores exatos:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^{-3}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{-3}=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27},
f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-3}=8.
  • Para T_3:
T_3\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=1-3\cdot\tfrac{1}{2}+6\cdot\tfrac{1}{4}-10\cdot\tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{4},
T_3\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1-3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+6\cdot\tfrac{1}{4}-10\cdot\left(-\tfrac{1}{8}\right)=\frac{21}{4}=5{,}25.
  • Erros reais para T_3:
|f(\tfrac{1}{2})-T_3(\tfrac{1}{2})|=\left|\frac{8}{27}-\left(-\frac{1}{4}\right)\right|=\frac{59}{108}\approx0{,}546296,
|f(-\tfrac{1}{2})-T_3(-\tfrac{1}{2})|=|8-\tfrac{21}{4}|=\frac{11}{4}=2{,}75.
  • Para T_4:
T_4\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=T_3\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+15\left(\tfrac{1}{2}\right)^4=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{15}{16}=\tfrac{11}{16}=0{,}6875,
T_4\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\frac{21}{4}+15\left(\tfrac{1}{2}\right)^4=\frac{21}{4}+\frac{15}{16}=\frac{99}{16}=6{,}1875.
  • Erros reais para T_4:
|f(\tfrac{1}{2})-T_4(\tfrac{1}{2})|=\left|\frac{8}{27}-\frac{11}{16}\right|=\frac{169}{432}\approx0{,}391204,
|f(-\tfrac{1}{2})-T_4(-\tfrac{1}{2})|=|8-\tfrac{99}{16}|=\frac{29}{16}=1{,}8125.
  • Observação prática: nos pontos testados, o erro absoluto é máximo em x=-1/2 para ambos os graus; portanto o erro máximo efetivo no intervalo é, de fato, no extremo esquerdo x=-1/2 com os valores racionais acima. (Para um tratamento formal completo seria preciso mostrar que não há ponto interior com erro maior; aqui mostramos os valores nos extremos e em 0, e a forma decrescente/valores indicam que o máximo absoluto ocorre em x=-1/2.)

Resposta

Grau 3: T_3(x)=1-3x+6x^2-10x^3. Cota pelo resto de Lagrange: \displaystyle \max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)-T_3(x)|\le 120. Erro máximo efetivo (avaliado nos extremos): \displaystyle \max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)-T_3(x)|=\frac{11}{4}=2{,}75.\n
Grau 4: T_4(x)=1-3x+6x^2-10x^3+15x^4. Cota pelo resto de Lagrange: \displaystyle \max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)-T_4(x)|\le 168. Erro máximo efetivo (avaliado nos extremos): \displaystyle \max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)-T_4(x)|=\frac{29}{16}=1{,}8125.

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