Aproxime as funções abaixo pelo seu polinômio de Taylor de grau 3 em torno de x_{0}=0 no intervalo [-1 / 2,1 / 2] e calcule o erro máximo cometido ao fazer tal aproximação, neste intervalo. Repita o exercício para o polinômio de Taylor de grau 4. f(x)=(1+x)^{-3}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
Pede-se aproximar a função f(x)=(1+x)^{-3} por seu polinômio de Taylor de grau 3 e de grau 4 em torno de x_{0}=0 (ou seja, as séries de Maclaurin truncadas) no intervalo [-1/2,\,1/2].\n
Além de obter os polinômios, pede-se calcular o erro máximo cometido por cada aproximação nesse intervalo, isto é, calcular \max_{x\in[-1/2,\,1/2]} |f(x)-T_n(x)| para n=3 e n=4.\n
Informações úteis dadas: a função é f(x)=(1+x)^{-3}, o centro é x_{0}=0 e o intervalo é [-1/2,1/2].\n
Passo 2
Como obter os coeficientes do polinômio de Taylor (a ideia): fórmula geral e como calcular as derivadas\n
O polinômio de Taylor de grau n em torno de 0 (Maclaurin) é
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.
Então precisamos de f^{(k)}(0) para k=0,1,\dots,4 (e também k=5 se quisermos usar o termo seguinte na forma do resto de Lagrange). Vamos achar uma fórmula geral para as derivadas para não ficar fazendo diferenciações repetidas.\n
Observe que f(x)=(1+x)^{-3}. Por derivação repetida (ou por indução), verifica-se a fórmula
f^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{(k+2)!}{2!}(1+x)^{-3-k},
onde (k+2)!/2!=\dfrac{(k+2)!}{2}. Vou usar essa fórmula para obter os valores em x=0.\n
Passo 3
Calcular explicitamente f^{(k)}(0) e os coeficientes para k=0,1,2,3,4,5\n
Para obter uma cota para |R_n(x)| num intervalo, escolhemos M=\displaystyle\max_{\xi\in I}|f^{(n+1)}(\xi)| (onde I é um intervalo que contém todos os \xi possíveis) e então
|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x|^{\,n+1}.
No nosso problema, para qualquer x\in[-1/2,1/2] o ponto \xi que aparece na fórmula está entre 0 e x, portanto \xi\in[-1/2,1/2]. Assim podemos tomar
Aplicar a cota do resto para n=3 (polinômio de grau 3)\n
Precisamos de f^{(4)}(x). Pela fórmula geral,
f^{(4)}(x)=\frac{6!}{2!}(1+x)^{-7}=360(1+x)^{-7},
(obs.: o sinal é + porque (-1)^4=+1).\n
Em \xi\in[-1/2,1/2] temos 1+\xi\in[1/2,3/2]. Como (1+\xi)^{-7} é decrescente com 1+\xi, o máximo de (1+\xi)^{-7} no intervalo ocorre em \xi=-1/2, dando (1+\xi)^{-7}=(1/2)^{-7}=2^{7}=128.\n
Conclusão (cota pelo resto de Lagrange): o erro máximo ao aproximar por T_3 em [-1/2,1/2] é no máximo 120. (Observação: esta é uma cota segura, possivelmente conservadora.)
Passo 7
Aplicar a cota do resto para n=4 (polinômio de grau 4)\n
Conclusão (cota pelo resto de Lagrange): o erro máximo ao aproximar por T_4 em [-1/2,1/2] é no máximo 168. (Também é uma cota segura e conservadora.)
Passo 8
Calcular os erros reais nos extremos do intervalo (para ter noção da qualidade real da aproximação) e encontrar o erro máximo efetivo observado\n
Em vez de só a cota (que pode ser bem frouxa), podemos calcular explicitamente f(x)-T_n(x) nos pontos extremos x=\pm 1/2 e em x=0 (onde o erro é 0) para ver onde o erro é maior na prática.\n
Observação prática: nos pontos testados, o erro absoluto é máximo em x=-1/2 para ambos os graus; portanto o erro máximo efetivo no intervalo é, de fato, no extremo esquerdo x=-1/2 com os valores racionais acima. (Para um tratamento formal completo seria preciso mostrar que não há ponto interior com erro maior; aqui mostramos os valores nos extremos e em 0, e a forma decrescente/valores indicam que o máximo absoluto ocorre em x=-1/2.)
Resposta
Grau 3: T_3(x)=1-3x+6x^2-10x^3. Cota pelo resto de Lagrange: \displaystyle \max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)-T_3(x)|\le 120. Erro máximo efetivo (avaliado nos extremos): \displaystyle \max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)-T_3(x)|=\frac{11}{4}=2{,}75.\n
Grau 4: T_4(x)=1-3x+6x^2-10x^3+15x^4. Cota pelo resto de Lagrange: \displaystyle \max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)-T_4(x)|\le 168. Erro máximo efetivo (avaliado nos extremos): \displaystyle \max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)-T_4(x)|=\frac{29}{16}=1{,}8125.