Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções
da equação diferencial
sujeita às condições iniciais
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Foram dadas duas condições iniciais em
. - Vamos usar séries de potências (ou seja, assumir que
tem uma expansão em série em torno de ) para obter a solução.
Passo 2
Assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
onde os
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
Explicação didática: uma série de potências é uma soma infinita de termos da forma . Para equações com coeficientes analíticos (aqui constantes), é natural procurar soluções assim; derivando termo a termo obtemos as derivadas também em série.
Explicação didática: uma série de potências é uma soma infinita de termos da forma
Passo 3
Derivamos a série termo a termo para obter
e
:
Explicação das fórmulas: derivar
dá
; derivar de novo dá
. Note que os somatórios começam em
e
respectivamente porque termos com potências negativas não aparecem.
Passo 4
Substituímos
e
na equação
:
Para somar séries com a mesma potência de
é conveniente reindexar a primeira série trocando
por
(ou seja
), assim cada termo fica em
:
Agora as duas somas estão em potências
com
variando a partir de
.
Passo 5
Como a soma de séries é a série nula, os coeficientes de cada potência
devem ser zero. Logo obtemos a relação de recorrência entre os coeficientes:
Isolando
:
Explicação: isso é padrão ao comparar séries formais — cada coeficiente na soma deve ser zero para a igualdade valer identicamente.
Passo 6
Usamos as condições iniciais para relacionar
e
com
e
. Da série:
Portanto
e
. Explicação: o valor da função em zero é o coeficiente constante; o valor da derivada em zero é
.
Passo 7
Aplicamos a recorrência para obter os primeiros coeficientes e identificar um padrão. Como
e
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Repare que todos os coeficientes de índice par são(porque e a recorrência relaciona com ). Os coeficientes de índice ímpar formam a sequência
Que sugere a fórmula geral, para
:
Explicação: podemos provar por indução usando a recorrência; a alternância de sinais e os fatoriais surgem ao multiplicar sucessivamente denominadores
.
Passo 8
Escrevemos a série de
usando os coeficientes descobertos:
Esta é exatamente a série de Taylor conhecida da função
centrada em
. Portanto a solução obtida pela série de potências é
Comentário didático: reconhecer séries padrão (como as séries de
,
,
) é muito útil — aqui a recorrência e os coeficientes mostram que a solução coincide com
.
Passo 9
Conclusão final e observação sobre convergência: a série dada converge para todo
(a série de
tem raio de convergência infinito), então a solução é válida globalmente.