Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^{\prime \prime}+y=0 onde y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções y(x) da equação diferencial
y'' + y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Foram dadas duas condições iniciais em x=0.
  • Vamos usar séries de potências (ou seja, assumir que y tem uma expansão em série em torno de x=0) para obter a solução.

Passo 2

Assumimos que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências em torno de x=0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
Explicação didática: uma série de potências é uma soma infinita de termos da forma a_n x^n. Para equações com coeficientes analíticos (aqui constantes), é natural procurar soluções assim; derivando termo a termo obtemos as derivadas também em série.

Passo 3

Derivamos a série termo a termo para obter y' e y'':
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Explicação das fórmulas: derivar a_n x^n n a_n x^{n-1}; derivar de novo dá n(n-1)a_n x^{n-2}. Note que os somatórios começam em n=1 e n=2 respectivamente porque termos com potências negativas não aparecem.

Passo 4

Substituímos y e y'' na equação y''+y=0:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \;+\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\; 0.
Para somar séries com a mesma potência de x é conveniente reindexar a primeira série trocando n por k+2 (ou seja n=k+2), assim cada termo fica em x^k:
\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^{k} \;+\; \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \;=\; 0.
Agora as duas somas estão em potências x^k com k variando a partir de 0.

Passo 5

Como a soma de séries é a série nula, os coeficientes de cada potência x^k devem ser zero. Logo obtemos a relação de recorrência entre os coeficientes:
(k+2)(k+1)a_{k+2} + a_k = 0,\qquad \text{para todo } k\ge 0.
Isolando a_{k+2}:
a_{k+2} = -\frac{a_k}{(k+2)(k+1)}.
Explicação: isso é padrão ao comparar séries formais — cada coeficiente na soma deve ser zero para a igualdade valer identicamente.

Passo 6

Usamos as condições iniciais para relacionar a_0 e a_1 com y(0) e y'(0). Da série:
y(0)=a_0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = 0,
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\quad\Rightarrow\quad y'(0)=a_1 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 1.
Portanto a_0=0 e a_1=1. Explicação: o valor da função em zero é o coeficiente constante; o valor da derivada em zero é a_1.

Passo 7

Aplicamos a recorrência para obter os primeiros coeficientes e identificar um padrão. Como a_0=0 e a_1=1:
  • Para k=0: a_2 = -\dfrac{a_0}{2\cdot1}=0.
  • Para k=1: a_3 = -\dfrac{a_1}{3\cdot2} = -\dfrac{1}{6}.
  • Para k=2: a_4 = -\dfrac{a_2}{4\cdot3}=0.
  • Para k=3: a_5 = -\dfrac{a_3}{5\cdot4} = -\dfrac{-1/6}{20} = \dfrac{1}{120}.
  • Para k=4: a_6 = -\dfrac{a_4}{6\cdot5}=0.
  • Para k=5: a_7 = -\dfrac{a_5}{7\cdot6} = -\dfrac{1/120}{42} = -\dfrac{1}{5040}.
    Repare que todos os coeficientes de índice par são 0 (porque a_0=0 e a recorrência relaciona a_{k+2} com a_k). Os coeficientes de índice ímpar formam a sequência
a_1=1,\quad a_3=-\frac{1}{3!},\quad a_5=\frac{1}{5!},\quad a_7=-\frac{1}{7!},\;\dots
Que sugere a fórmula geral, para n\ge 0:
a_{2n}=0,\qquad a_{2n+1}=(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}.
Explicação: podemos provar por indução usando a recorrência; a alternância de sinais e os fatoriais surgem ao multiplicar sucessivamente denominadores (k+2)(k+1).

Passo 8

Escrevemos a série de y(x) usando os coeficientes descobertos:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n+1} x^{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Esta é exatamente a série de Taylor conhecida da função \sin x centrada em 0. Portanto a solução obtida pela série de potências é
y(x)=\sin x.
Comentário didático: reconhecer séries padrão (como as séries de \sin x, \cos x, e^x) é muito útil — aqui a recorrência e os coeficientes mostram que a solução coincide com \sin x.

Passo 9

Conclusão final e observação sobre convergência: a série dada converge para todo x (a série de \sin x tem raio de convergência infinito), então a solução é válida globalmente.

Resposta

\sin x

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