Use séries binomiais para obter a série de Maclaurin de
a)
. Estime o valor de
com erro inferior a 0,1 .
b)
. Estime o valor de
. Sugestão: Derive
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:\n
- Calcular a série de Maclaurin de
usando séries binomiais e, com ela, estimar com erro menor que .\n - Calcular a série de Maclaurin de
(a sugestão é derivar ) e estimar .\n
Informações dadas e úteis: podemos usar séries binomiais (expansão de) e integrar ou derivar série termo a termo dentro do raio de convergência. Não há figura nem outros dados ocultos.\n
Passo 2
Pequena aula: série binomial generalizada. \n
Para qualquer
e
vale a série binomial\n
onde
(com
). Essa série converge para
(e às vezes em pontos da fronteira dependendo de
). Exemplo concreto: para
temos coeficientes conhecidos (puedes derivar por indução)
Isto é muito útil para funções com raiz quadrada no denominador, pois
aparece frequentemente.
Passo 3
Parte (a): começar pela derivada de
. \n
Sabemos que a derivada é
Sabemos que a derivada é
Agora aplicamos a série binomial com
e
. Como
e
isso é válido para
. Usando a forma dos coeficientes,
Aqui observei explicitamente que
, por isso os sinais se cancelam e todos os coeficientes são positivos.
Passo 4
Integração termo a termo para obter
. \n
Como , ao integrar a expansão de
obtemos a série de Maclaurin de
:
Como
Esta é a forma geral. Escrita com os primeiros termos:
Explicando os coeficientes: por exemplo para
dá
; para
dá
, e assim por diante.
Passo 5
Estimativa de
com erro
. \n
Queremos um método confiável para garantir o erro. Vou usar o resto de Lagrange da expansão de Taylor centrada em . Se aproximarmos
pelo primeiro termo linear
, o resto (ordem 2) é
Queremos um método confiável para garantir o erro. Vou usar o resto de Lagrange da expansão de Taylor centrada em
para algum
entre
e
. Calculamos
explicitamente:
Para
(lembre: usar vírgula como separador decimal), qualquer
estará em
. Então
Uma cota simples: para
temos
, portanto
Calculemos numericament e de forma simples:
(esta é uma aproximação suficiente para cotas). Assim
Logo o resto ao aproximar por
satisfaz
Esta cota é bem menor que
. Portanto já a aproximação linear
garante erro
. Se quisermos uma aproximação mais precisa, usamos mais termos da série. Vou calcular até o termo de ordem
para obter boa precisão numérica.
Passo 6
Cálculo numérico de
usando os primeiros termos.\n
Calculemos os termos com :
.
.
.
.
Agora os termos da série:
Calculemos os termos com
Agora os termos da série:
Somando:
Os termos seguintes são extremamente pequenos (da ordem
ou menor), então o valor correto até cerca de
casas decimais é
Passo 7
Parte (b): derive
e use binomial.\n
Derivando a expressão sugerida:
Derivando a expressão sugerida:
Derivada direta (ou usando regra da cadeia):
Agora aplicamos a série binomial com
e
. Usando
, obtemos
Passo 8
Integre termo a termo para obter
. \n
Como , ao integrar a série de
obtemos
Como
Escrevendo os primeiros termos:
Essa série também tem raio de convergência
(válida para
), suficiente para
.
Passo 9
Cálculo numérico de
usando os primeiros termos.\n
Com calculemos os primeiros potências e termos:
.
.
.
.
Termos:
Com
Termos:
Somando os três primeiros contribuintes:
Incluindo o quarto termo pouco altera o valor (cerca de
). Portanto