Use séries binomiais para obter a série de Maclaurin de
a) f(x)=\operatorname{arcsen} x. Estime o valor de \operatorname{arcsen}(0.2) com erro inferior a 0,1 .
b) f(x)=\operatorname{sinh} ^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right). Estime o valor de \operatorname{sinh} ^{-1}(0.1). Sugestão: Derive f(x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:\n
  1. Calcular a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{arcsen}x usando séries binomiais e, com ela, estimar \operatorname{arcsen}(0,2) com erro menor que 0,1.\n
  2. Calcular a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{sinh}^{-1}x=\ln\!\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) (a sugestão é derivar f) e estimar \operatorname{sinh}^{-1}(0,1).\n
    Informações dadas e úteis: podemos usar séries binomiais (expansão de (1+u)^{\alpha}) e integrar ou derivar série termo a termo dentro do raio de convergência. Não há figura nem outros dados ocultos.\n

Passo 2

Pequena aula: série binomial generalizada. \n
Para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e |u|<1 vale a série binomial\n (1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^{n},
onde
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
(com \binom{\alpha}{0}=1). Essa série converge para |u|<1 (e às vezes em pontos da fronteira dependendo de \alpha). Exemplo concreto: para \alpha=-\tfrac12 temos coeficientes conhecidos (puedes derivar por indução) \binom{-\tfrac12}{n}=(-1)^n\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}.
Isto é muito útil para funções com raiz quadrada no denominador, pois (1\pm x^{2})^{-1/2} aparece frequentemente.

Passo 3

Parte (a): começar pela derivada de \operatorname{arcsen}x. \n
Sabemos que a derivada é
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1/2}.
Agora aplicamos a série binomial com u=-x^{2} e \alpha=-\tfrac12. Como u=-x^{2} e |x|<1 isso é válido para |x|<1. Usando a forma dos coeficientes,
(1-x^{2})^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{n}(-x^{2})^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\,x^{2n}.
Aqui observei explicitamente que \binom{-1/2}{n}(-1)^{n}=\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}, por isso os sinais se cancelam e todos os coeficientes são positivos.

Passo 4

Integração termo a termo para obter \operatorname{arcsen}x. \n
Como \operatorname{arcsen}0=0, ao integrar a expansão de (1-x^{2})^{-1/2} obtemos a série de Maclaurin de \operatorname{arcsen}x:
\operatorname{arcsen}x=\int_{0}^{x}(1-t^{2})^{-1/2}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Esta é a forma geral. Escrita com os primeiros termos:
\operatorname{arcsen}x = x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{3x^{5}}{40}+\frac{5x^{7}}{112}+\cdots
Explicando os coeficientes: por exemplo para n=0 x; para n=1 \dfrac{(2)!}{4\cdot(1!)^{2}}\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{x^{3}}{6}, e assim por diante.

Passo 5

Estimativa de \operatorname{arcsen}(0,2) com erro <0,1. \n
Queremos um método confiável para garantir o erro. Vou usar o resto de Lagrange da expansão de Taylor centrada em 0. Se aproximarmos \operatorname{arcsen}x pelo primeiro termo linear P_{1}(x)=x, o resto (ordem 2) é
R_{1}(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}x^{2}
para algum \xi entre 0 e x. Calculamos f''(x) explicitamente:
f(x)=\operatorname{arcsen}x,\qquad f'(x)=(1-x^{2})^{-1/2},\qquad f''(x)=\frac{x}{(1-x^{2})^{3/2}}.
Para x=0,2 (lembre: usar vírgula como separador decimal), qualquer \xi estará em [0,0,2]. Então
|f''(\xi)|\le \max_{|t|\le 0,2}\frac{|t|}{(1-t^{2})^{3/2}}.
Uma cota simples: para |t|\le 0,2 temos 1-t^{2}\ge 1-0,04=0,96, portanto
|f''(\xi)|\le \frac{0,2}{(0,96)^{3/2}}.
Calculemos numericament e de forma simples: (0,96)^{3/2}=(0,96)\sqrt{0,96}\approx 0,96\cdot 0,98\approx 0,9408 (esta é uma aproximação suficiente para cotas). Assim
|f''(\xi)|\lesssim \frac{0,2}{0,9408}\approx 0,2127.
Logo o resto ao aproximar por x satisfaz
|R_{1}(0,2)|\le \frac{0,2127}{2}\,(0,2)^{2}=0,10635\cdot 0,04\approx 0,00425.
Esta cota é bem menor que 0,1. Portanto já a aproximação linear x garante erro <0,1. Se quisermos uma aproximação mais precisa, usamos mais termos da série. Vou calcular até o termo de ordem x^{7} para obter boa precisão numérica.

Passo 6

Cálculo numérico de \operatorname{arcsen}(0,2) usando os primeiros termos.\n
Calculemos os termos com x=0,2:
x=0,2.
x^{3}=0,2^{3}=0,008.
x^{5}=0,2^{5}=0,00032.
x^{7}=0,2^{7}=0,0000128.
Agora os termos da série:
x=0,2, \qquad \frac{x^{3}}{6}=\frac{0,008}{6}=0,0013333333\ldots,
\frac{3x^{5}}{40}=0,075\cdot 0,00032=0,000024,
\frac{5x^{7}}{112}\approx 0,0446428571\cdot 0,0000128\approx 0,00000057102857.
Somando:
0,2+0,0013333333+0,000024+0,0000005710\approx 0,2013579044.
Os termos seguintes são extremamente pequenos (da ordem 10^{-8} ou menor), então o valor correto até cerca de 8 casas decimais é
\operatorname{arcsen}(0,2)\approx 0,20135792.

Passo 7

Parte (b): derive f(x)=\operatorname{sinh}^{-1}x e use binomial.\n
Derivando a expressão sugerida:
f(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr).
Derivada direta (ou usando regra da cadeia):
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=(1+x^{2})^{-1/2}.
Agora aplicamos a série binomial com u=x^{2} e \alpha=-\tfrac12. Usando \binom{-1/2}{n}=(-1)^{n}\dfrac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}, obtemos
(1+x^{2})^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{n}x^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}x^{2n}.

Passo 8

Integre termo a termo para obter \operatorname{sinh}^{-1}x. \n
Como \operatorname{sinh}^{-1}0=0, ao integrar a série de f'(x) obtemos
\operatorname{sinh}^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Escrevendo os primeiros termos:
\operatorname{sinh}^{-1}x = x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{3x^{5}}{40}-\frac{5x^{7}}{112}+\cdots
Essa série também tem raio de convergência 1 (válida para |x|<1), suficiente para x=0,1.

Passo 9

Cálculo numérico de \operatorname{sinh}^{-1}(0,1) usando os primeiros termos.\n
Com x=0,1 calculemos os primeiros potências e termos:
x=0,1.
x^{3}=0,001.
x^{5}=0,00001.
x^{7}=0,0000001.
Termos:
x=0,1, \qquad -\frac{x^{3}}{6}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666667,
\frac{3x^{5}}{40}=0,075\cdot 0,00001=0,00000075,
-\frac{5x^{7}}{112}\approx -0,0446428571\cdot 0,0000001\approx -0,0000000044642857.
Somando os três primeiros contribuintes:
0,1-0,0001666666667+0,00000075\approx 0,0998340833333.
Incluindo o quarto termo pouco altera o valor (cerca de -4{,}46\times 10^{-9}). Portanto
\operatorname{sinh}^{-1}(0,1)\approx 0,099834079.

Resposta

\operatorname{arcsen}(0,2)\approx 0,20135792\n
\operatorname{sinh}^{-1}(0,1)\approx 0,099834079

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