(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) \approx T_{n}(x) quando x estiver no intervalo dado.
f(x)=\ln x, \quad a=4, \quad n=3, \quad 3 \leq x \leq 5

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo isso veio do enunciado).
  • Função: f(x)=\ln x.
  • Ponto de expansão: a=4.
  • Grau do polinômio de Taylor pedido: n=3.
  • Intervalo onde queremos estimar o erro: 3 \le x \le 5.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Aproximar f por um polinômio de Taylor de grau n=3 centrado em a=4, ou seja fornecer T_{3}(x).
(b) Usar a desigualdade de Taylor (forma de Lagrange do resto) para estimar a precisão da aproximação quando x varia no intervalo 3\le x\le 5.

Passo 2

O que é o polinômio de Taylor e como construí-lo (aula rápida).
  • Fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n em torno de a:
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
Aqui f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em a, e k! é o fatorial de k (por exemplo 3!=6).
  • Intuitivamente: T_n(x) é o polinômio que coincide com f e com suas derivadas até ordem n em x=a; é a aproximação polinomial local de ordem n.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias de f(x)=\ln x e avaliá‑las em a=4.
  • Derivadas (calculemos explicitamente até a terceira):
    • f(x)=\ln x.
    • f'(x)=\dfrac{1}{x}.
    • f''(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    • f^{(3)}(x)=\dfrac{2}{x^{3}}.
  • Uma forma geral (útil para checar) é, para k\ge 1:
f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1}(k-1)!\,x^{-k}.
  • Agora avaliando em a=4:
    • f(4)=\ln 4.
    • f'(4)=\dfrac{1}{4}.
    • f''(4)=-\dfrac{1}{4^{2}}=-\dfrac{1}{16}.
    • f^{(3)}(4)=\dfrac{2}{4^{3}}=\dfrac{2}{64}=\dfrac{1}{32}.

Passo 4

Montar o polinômio T_{3}(x) substituindo na fórmula de Taylor e simplificando coeficientes.
  • Usando
T_3(x)=f(4)+\frac{f'(4)}{1!}(x-4)+\frac{f''(4)}{2!}(x-4)^2+\frac{f^{(3)}(4)}{3!}(x-4)^3,
substituímos os valores encontrados:
T_3(x)=\ln 4+\frac{1}{4}(x-4)+\frac{-\tfrac{1}{16}}{2}(x-4)^2+\frac{\tfrac{1}{32}}{6}(x-4)^3.
  • Simplificando os coeficientes:
    • \dfrac{-\tfrac{1}{16}}{2}=-\dfrac{1}{32}.
    • \dfrac{\tfrac{1}{32}}{6}=\dfrac{1}{192}.
  • Logo:
T_3(x)=\ln 4+\frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{32}(x-4)^2+\frac{1}{192}(x-4)^3.

Passo 5

Apresentar a forma do resto de Taylor (desigualdade de Taylor / forma de Lagrange) e explicar cada termo.
  • A forma de Lagrange do resto para grau n é
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},
onde \xi é algum ponto entre a e x (dependendo de x). Em valor absoluto, uma estimativa segura é
|R_n(x)|\le \frac{\max_{c\in I}|f^{(n+1)}\text{(c)}|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1},
onde I é o intervalo que contém todos os c possíveis entre a e os x que nos interessam. Aqui n+1 é a ordem da derivada que aparece no resto.

Passo 6

Aplicar a fórmula do resto ao nosso caso ( n=3, a=4) e encontrar uma cota sobre 3\le x\le 5.
  • Precisamos de f^{(4)}(x). Diferenciando a expressão geral, ou a partir das derivadas já obtidas:
f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^{4}}.
  • Em valor absoluto: |f^{(4)}(x)|=\dfrac{6}{x^{4}}.
  • Para x em qualquer segmento entre 3 e 5, os possíveis \xi ficam no intervalo [3,5]. A função x\mapsto \dfrac{6}{x^{4}} é decrescente em x>0 (porque x^{4} cresce), logo o máximo de |f^{(4)}\text{(c)}| em c\in[3,5] ocorre em c=3. Assim
\max_{c\in[3,5]}|f^{(4)}\text{(c)}|=\frac{6}{3^{4}}=\frac{6}{81}=\frac{2}{27}.
  • Agora a desigualdade para n=3
|R_3(x)|\le \frac{\dfrac{2}{27}}{4!}\,|x-4|^{4}.
Como 4!=24, simplificamos:
\frac{\dfrac{2}{27}}{24}=\frac{2}{27\cdot 24}=\frac{2}{648}=\frac{1}{324}.
Logo obtemos a cota dependente de x:
|R_3(x)|\le \frac{1}{324}\,|x-4|^{4}\quad\text{para todo }x\in[3,5].

Passo 7

Dar a cota numérica final (cota uniforme no intervalo) e comentar como usar na prova.
  • Como para x\in[3,5] vale |x-4|\le 1, obtemos a cota uniforme
|R_3(x)|\le \frac{1}{324}\cdot 1^{4}=\frac{1}{324}\approx 0,003086419.
  • Interpretação prática: em qualquer ponto do intervalo [3,5] a aproximação f(x)\approx T_3(x) tem erro absoluto no máximo \dfrac{1}{324} (cerca de 0,00309). Na prova, se pedirem “estime o erro”, pode-se responder com a desigualdade em função de |x-4|^{4} ou com a cota numérica \dfrac{1}{324}.

Resposta

T_3(x)=\ln 4+\dfrac{1}{4}(x-4)-\dfrac{1}{32}(x-4)^2+\dfrac{1}{192}(x-4)^3
|R_3(x)|\le \dfrac{1}{324}\,|x-4|^{4}\le \dfrac{1}{324}\approx 0,003086419

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