(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
’
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo isso veio do enunciado).
- Função:
. - Ponto de expansão:
. - Grau do polinômio de Taylor pedido:
. - Intervalo onde queremos estimar o erro:
.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Aproximar por um polinômio de Taylor de grau
centrado em
, ou seja fornecer
.
(b) Usar a desigualdade de Taylor (forma de Lagrange do resto) para estimar a precisão da aproximação quando varia no intervalo
.
(a) Aproximar
(b) Usar a desigualdade de Taylor (forma de Lagrange do resto) para estimar a precisão da aproximação quando
Passo 2
O que é o polinômio de Taylor e como construí-lo (aula rápida).
- Fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
em torno de :
Aqui
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
(por exemplo
).
- Intuitivamente:
é o polinômio que coincide com e com suas derivadas até ordem em ; é a aproximação polinomial local de ordem .
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias de
e avaliá‑las em
.
- Derivadas (calculemos explicitamente até a terceira):
-
. -
-
-
-
- Uma forma geral (útil para checar) é, para
:
- Agora avaliando em
: -
Passo 4
Montar o polinômio
substituindo na fórmula de Taylor e simplificando coeficientes.
- Usando
substituímos os valores encontrados:
- Simplificando os coeficientes:
-
- Logo:
Passo 5
Apresentar a forma do resto de Taylor (desigualdade de Taylor / forma de Lagrange) e explicar cada termo.
- A forma de Lagrange do resto para grau
é
onde
é algum ponto entre
e
(dependendo de
). Em valor absoluto, uma estimativa segura é
onde
é o intervalo que contém todos os
possíveis entre
e os
que nos interessam. Aqui
é a ordem da derivada que aparece no resto.
Passo 6
Aplicar a fórmula do resto ao nosso caso (
,
) e encontrar uma cota sobre
.
- Precisamos de
. Diferenciando a expressão geral, ou a partir das derivadas já obtidas:
- Em valor absoluto:
. - Para
em qualquer segmento entre e , os possíveis ficam no intervalo . A função é decrescente em (porque cresce), logo o máximo de em ocorre em . Assim
- Agora a desigualdade para
dá
Como
, simplificamos:
Logo obtemos a cota dependente de
:
Passo 7
Dar a cota numérica final (cota uniforme no intervalo) e comentar como usar na prova.
- Como para
vale , obtemos a cota uniforme
- Interpretação prática: em qualquer ponto do intervalo
a aproximação tem erro absoluto no máximo (cerca de ). Na prova, se pedirem “estime o erro”, pode-se responder com a desigualdade em função de ou com a cota numérica .