1. \int \frac{\operatorname{arctg} x}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função \dfrac{\operatorname{arctg} x}{x}, ou seja:
\text{Encontrar } \int \frac{\operatorname{arctg} x}{x}\,dx.
Informações úteis do enunciado:
  • A função a integrar é \dfrac{\operatorname{arctg} x}{x}.
  • A função \operatorname{arctg} x (arco-tangente) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Há uma aparente singularidade em x=0 porque a expressão tem divisão por x; porém \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{arctg} x}{x}=1, então a singularidade é removível.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): uma forma simples e muito prática para provas é usar a expansão em série de potência de \operatorname{arctg} x e integrar termo a termo. Isso evita funções especiais e dá uma primitiva expressa por uma série explícita. Primeiro vamos lembrar como obter a série de \operatorname{arctg} x.

Passo 3

Fórmula básica usada: a derivada de \operatorname{arctg} x é
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg} x = \frac{1}{1+x^{2}}.
Para |x|<1 podemos expandir \dfrac{1}{1+x^{2}} como uma série geométrica com razão -x^{2}:
\frac{1}{1+x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n},\qquad (|x|<1).
Essa identidade vem do fato padrão \dfrac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^\infty r^n para |r|<1, aplicando com r=-x^2.

Passo 4

Integramos termo a termo a série acima para recuperar \operatorname{arctg} x. Como \operatorname{arctg}(0)=0, a constante de integração é zero nessa integração:
\operatorname{arctg} x = \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \int \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad (|x|<1).
Essa é a conhecida série de Taylor/Maclaurin de \operatorname{arctg} x.

Passo 5

Agora formamos \dfrac{\operatorname{arctg} x}{x} dividindo a série por x (válido para x\neq0; em x=0 o limite define o valor):
\frac{\operatorname{arctg} x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2n+1},\qquad (|x|<1).
Essa é uma série em potências pares de x. Podemos integrar termo a termo (a série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto em (-1,1), justificando a integração termo a termo).

Passo 6

Integração termo a termo:
\int \frac{\operatorname{arctg} x}{x}\,dx = \int \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2n+1}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}} + C,
onde C é constante de integração. Esta é uma expressão prática e explícita para a primitiva, válida por série quando |x|<1; por continuação analítica ela representa a primitiva em intervalos maiores com as devidas escolhas de ramo.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confirmação): diferenciar termo a termo a série encontrada dá
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}\right) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2n+1} = \frac{\operatorname{arctg} x}{x},
o que confirma que a série encontrada é de fato uma primitiva (no intervalo de validade).

Passo 8

Forma alternativa (mais avançada) usando funções especiais: se for interessante conhecer uma forma fechada usando a função dilogarítmo \operatorname{Li}_{2}, existe a identidade (obtida escrevendo \operatorname{arctg} x como logaritmos complexos e integrando)
\operatorname{arctg} x = \frac{1}{2i}\ln\!\biggl(\frac{1+i x}{1-i x}\biggr),
levaria a
\int \frac{\operatorname{arctg} x}{x}\,dx = \frac{1}{2i}\Bigl(\operatorname{Li}_{2}(i x)-\operatorname{Li}_{2}(-i x)\Bigr)+C.
Essa expressão é equivalente à série anterior por identidades de analiticidade e é útil quando se trabalha com funções especiais. Não é necessária numa prova básica, mas é bom saber que existe.

Passo 9

Comentário final e dica de prova: para uma prova de cálculo elementar, memorizar ou saber deduzir a série de \operatorname{arctg} x e integrar termo a termo é a via mais segura. Lembre que em x=0 a primitiva definida pela série tem derivada \dfrac{\operatorname{arctg} x}{x} por continuidade, então não há problema com a singularidade aparente.

Resposta

\int \frac{\operatorname{arctg} x}{x}\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}+C
\text{(forma alternativa)}\qquad \int \frac{\operatorname{arctg} x}{x}\,dx=\frac{1}{2i}\Bigl(\operatorname{Li}_{2}(i x)-\operatorname{Li}_{2}(-i x)\Bigr)+C

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