Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
, ou seja:
Informações úteis do enunciado:
- A função a integrar é
. - A função
(arco-tangente) está definida para todo . - Há uma aparente singularidade em
porque a expressão tem divisão por ; porém , então a singularidade é removível.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): uma forma simples e muito prática para provas é usar a expansão em série de potência de
e integrar termo a termo. Isso evita funções especiais e dá uma primitiva expressa por uma série explícita. Primeiro vamos lembrar como obter a série de
.
Passo 3
Fórmula básica usada: a derivada de
é
Para
podemos expandir
como uma série geométrica com razão
:
Essa identidade vem do fato padrão
para
, aplicando com
.
Passo 4
Integramos termo a termo a série acima para recuperar
. Como
, a constante de integração é zero nessa integração:
Essa é a conhecida série de Taylor/Maclaurin de
.
Passo 5
Agora formamos
dividindo a série por
(válido para
; em
o limite define o valor):
Essa é uma série em potências pares de
. Podemos integrar termo a termo (a série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto em
, justificando a integração termo a termo).
Passo 6
Integração termo a termo:
onde
é constante de integração. Esta é uma expressão prática e explícita para a primitiva, válida por série quando
; por continuação analítica ela representa a primitiva em intervalos maiores com as devidas escolhas de ramo.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (confirmação): diferenciar termo a termo a série encontrada dá
o que confirma que a série encontrada é de fato uma primitiva (no intervalo de validade).
Passo 8
Forma alternativa (mais avançada) usando funções especiais: se for interessante conhecer uma forma fechada usando a função dilogarítmo
, existe a identidade (obtida escrevendo
como logaritmos complexos e integrando)
levaria a
Essa expressão é equivalente à série anterior por identidades de analiticidade e é útil quando se trabalha com funções especiais. Não é necessária numa prova básica, mas é bom saber que existe.
Passo 9
Comentário final e dica de prova: para uma prova de cálculo elementar, memorizar ou saber deduzir a série de
e integrar termo a termo é a via mais segura. Lembre que em
a primitiva definida pela série tem derivada
por continuidade, então não há problema com a singularidade aparente.