Determine uma solução particular de cada equação abaixo.
\ddot{y}+4 \dot{y}=\operatorname{sen} t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
\ddot{y}+4\dot{y}=\sin t.
  • Informação dada: equação linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, termo fonte (não homogêneo) igual a \sin t.

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Para equações lineares com coeficientes constantes e termo forçado que é combinação de senos, cossenos, polinômios ou exponenciais, um método muito prático é o método dos coeficientes indeterminados: suponha uma forma para a solução particular com parâmetros desconhecidos, calcule derivadas, substitua na equação e determine esses parâmetros fazendo as igualdades decoeficientes termo a termo.
  • Importante checar se a forma suposta “bate” com alguma solução da equação homogênea (ressonância). Se houver coincidência, multiplicamos o palpite por uma potência de t. Aqui a equação homogênea associada é
\ddot{y}+4\dot{y}=0,
cuja solução geral é combinação de 1 e e^{-4t}. Como \sin t e \cos t não aparecem aí, não há ressonância e podemos apostar em uma combinação de \cos t e \sin t para a solução particular.

Passo 3

Escolha do palpite (trial):
  • Como o termo forçado é \sin t, tentamos uma solução particular do tipo
y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes desconhecidas a determinar.

Passo 4

Calcular derivadas de y_p:
  • Primeira derivada:
\dot{y}_p(t) = -A\sin t + B\cos t.
  • Segunda derivada:
\ddot{y}_p(t) = -A\cos t - B\sin t.

Passo 5

Substituir na equação e agrupar coeficientes:
Substituindo \ddot{y}_p e \dot{y}_p em \ddot{y}+4\dot{y}=\sin t obtemos
\bigl(-A\cos t - B\sin t\bigr) + 4\bigl(-A\sin t + B\cos t\bigr) = \sin t.
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
(-A + 4B)\cos t + (-B - 4A)\sin t = 0\cdot\cos t + 1\cdot\sin t.
Agora igualamos coeficientes de \cos t e \sin t dos dois lados, obtendo o sistema linear para A e B:
\begin{cases} - A + 4B = 0,\\[4pt] - B - 4A = 1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para A e B:
  • Da primeira equação -A+4B=0 isolamos A:
A = 4B.
  • Substituindo na segunda equação -B - 4A = 1:
- B - 4(4B) = 1 \quad\Rightarrow\quad -B -16B = 1 \quad\Rightarrow\quad -17B = 1.
  • Logo
B = -\frac{1}{17}.
  • E então
A = 4B = 4\left(-\frac{1}{17}\right) = -\frac{4}{17}.

Passo 7

Escrever a solução particular encontrada e comentar brevemente:
  • Substituindo A e B no palpite temos a solução particular
y_p(t)= -\frac{4}{17}\cos t - \frac{1}{17}\sin t = -\frac{1}{17}\bigl(4\cos t + \sin t\bigr).
  • Essa função, quando derivada e substituída em \ddot{y}+4\dot{y}, produz exatamente \sin t, portanto é uma solução particular válida.

Resposta

y_p(t)=-\frac{1}{17}\bigl(4\cos t+\sin t\bigr)

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