Determine uma solução particular de cada equação abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
- Informação dada: equação linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, termo fonte (não homogêneo) igual a
.
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática e simples):
- Para equações lineares com coeficientes constantes e termo forçado que é combinação de senos, cossenos, polinômios ou exponenciais, um método muito prático é o método dos coeficientes indeterminados: suponha uma forma para a solução particular com parâmetros desconhecidos, calcule derivadas, substitua na equação e determine esses parâmetros fazendo as igualdades decoeficientes termo a termo.
- Importante checar se a forma suposta “bate” com alguma solução da equação homogênea (ressonância). Se houver coincidência, multiplicamos o palpite por uma potência de
. Aqui a equação homogênea associada é
cuja solução geral é combinação de
e
. Como
e
não aparecem aí, não há ressonância e podemos apostar em uma combinação de
e
para a solução particular.
Passo 3
Escolha do palpite (trial):
- Como o termo forçado é
, tentamos uma solução particular do tipo
onde
e
são constantes desconhecidas a determinar.
Passo 4
Calcular derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 5
Substituir na equação e agrupar coeficientes:
Substituindo
e
em
obtemos
Agrupando termos em
e
:
Agora igualamos coeficientes de
e
dos dois lados, obtendo o sistema linear para
e
:
Passo 6
Resolver o sistema para
e
:
- Da primeira equação
isolamos :
- Substituindo na segunda equação
:
- Logo
- E então
Passo 7
Escrever a solução particular encontrada e comentar brevemente:
- Substituindo
e no palpite temos a solução particular
- Essa função, quando derivada e substituída em
, produz exatamente , portanto é uma solução particular válida.