Aproxime a soma das séries para a precisão indicada.
15. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)!} (quatro casas decimais)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a soma
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}
com quatro casas decimais de precisão. Esse é um caso de série alternante e, além disso, reconhecemos que é a expansão em série de Taylor de \sin x em x=1.

Passo 2

Lembrando que
\sin x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\,x^{2n-1}}{(2n-1)!},
se colocarmos x=1 obtemos
\sin 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!},
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S = \sin 1.

Passo 3

Para garantir quatro casas decimais (erro menor que 0{,}5\times10^{-4}=0{,}00005), usamos o critério da série alternante: o erro ao truncar após N termos é no máximo o valor do termo seguinte,
R_N \le \frac{1}{(2(N+1)-1)!} = \frac{1}{(2N+1)!}.
Procuramos o menor N tal que
\frac{1}{(2N+1)!}\le0{,}00005.
Testando: N=3\implies1/7!\approx0{,}0001984>0{,}00005, N=4\implies1/9!\approx0{,}00000275<0{,}00005.
Portanto, basta usar N=4.

Passo 4

Calculamos a soma parcial de quatro termos:
S_4 = \sum_{n=1}^{4} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} = 1 - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} - \frac{1}{7!} = 1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120} - \frac{1}{5040}.
Numericamente,
S_4 \approx 1 - 0{,}1666667 + 0{,}0083333 - 0{,}0001984 = 0{,}8414682.

Passo 5

Como o erro é menor que 0{,}00005, arredondamos S_4 a quatro casas decimais:
S \approx 0{,}8415.

Resposta

0,8415

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