Teste a série quanto a convergência ou divergência.
14. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{\ln n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{\ln n}}.
O conteúdo usado será o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (por exemplo, via integral).

Passo 2

Defina a_n = \dfrac{1}{(\ln n)^{1/3}}. Como a função f(x) = (\ln x)^{1/3} é crescente para x>1, seu recíproco a_n é decrescente para n\ge2.

Passo 3

Verificamos o limite de a_n:
\lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\ln n)^{1/3}} =0.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, como os termos formam uma sequência decrescente e têm limite zero, a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, examinamos
\sum_{n=2}^\infty \bigl|(-1)^{n-1}a_n\bigr| =\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\ln n)^{1/3}}.
Use o teste da integral:
\int_2^\infty \frac{dx}{(\ln x)^{1/3}}
faz a mudança t=\ln x, dx=e^t dt, dando
\int_{\ln2}^{\infty}\frac{e^t}{t^{1/3}}\,dt,
que diverge (o numerador cresce exponencialmente). Logo a soma de valores absolutos também diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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