Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
  1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da convergência absoluta (p-série) para decidir.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}.
Isto é uma p-série com p=\tfrac{3}{2}>1, e sabemos que toda p-série com p>1 converge.

Passo 3

Como a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente. A convergência absoluta é mais forte que a condicional, então não precisamos aplicar o teste da série alternada.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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