Aproxime as somas abaixo com erro menor do que 5 times 10^-6 :
a) sumn=1^+infty(-1)^n 1(2 n)!
b) sumn=1^+infty(-1)^n 1n!

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem duas somas infinitas que precisam ser aproximadas com um erro menor do que . Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas, que são aquelas onde os termos mudam de sinal a cada passo. A ideia é somar os termos da série até que o próximo termo a ser adicionado seja menor que o erro permitido. Vamos precisar calcular os termos das séries e verificar quando eles ficam pequenos o suficiente para garantir que o erro seja menor que .

Passo 2

Vamos resolver a parte a):
sumn=1^+infty(-1)^n 1(2n)!
Primeiro, notamos que é uma série alternada porque os termos têm o fator | 1(2(N+1))! | < 5 times 10^-6 , que alterna o sinal dos termos. Além disso, os termos n = 1: & 12! = 12 = 0.5 n = 2: & 14! = 124 approx 0.0416667 n = 3: & 16! = 1720 approx 0.00138889 n = 4: & 18! = 140320 approx 0.0000248 n = 5: & 110! = 13628800 approx 0.000000275 diminuem conforme S &= (-1)^1 12! + (-1)^2 14! + (-1)^3 16! &= -0.5 + 0.0416667 - 0.00138889 &approx -0.4607222 aumenta, já que o fatorial cresce muito rápido.
Para garantir que o erro da nossa aproximação seja menor que , vamos usar o critério das séries alternadas: o erro é menor ou igual ao primeiro termo não incluído na soma. Ou seja, queremos encontrar o menor valor de tal que:
Agora, vamos calcular os termos até encontrarmos quando fica menor que :
Observamos que para , o termo ainda é maior que , mas para , já é menor que . Então, devemos somar até para garantir que o erro seja menor que o permitido.
Agora, somamos os termos de a :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b):
sumn=1^+infty(-1)^n 1n!
Essa também é uma série alternada, onde os termos | 1(N+1)! | < 5 times 10^-6 diminuem rapidamente conforme n = 1: & 11! = 1 n = 2: & 12! = 0.5 n = 3: & 13! approx 0.1666667 n = 4: & 14! approx 0.0416667 n = 5: & 15! approx 0.0083333 n = 6: & 16! approx 0.0013889 n = 7: & 17! approx 0.0001984 n = 8: & 18! approx 0.0000248 n = 9: & 19! approx 0.0000028 aumenta.
Usando o mesmo critério das séries alternadas, queremos encontrar o menor S &= (-1)^1 11! + (-1)^2 12! + (-1)^3 13! + (-1)^4 14! & + (-1)^5 15! + (-1)^6 16! + (-1)^7 17! + (-1)^8 18! &= -1 + 0.5 - 0.1666667 + 0.0416667 - 0.0083333 + 0.0013889 - 0.0001984 + 0.0000248 &approx -0.6324606 tal que:
Vamos calcular os termos até atingir esse limite:
Para , ainda é maior que , mas para , já é menor que . Portanto, devemos somar até .
Agora, somamos os termos de a :

Resposta

a) A soma aproximada é aproximadamente com erro menor que .
b) A soma aproximada é aproximadamente com erro menor que .

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