Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações a1=2, an+1=5 n+14 n-3 an, n in N. Determine se sumn=1^+infty an converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma série infinita cujos termos são definidos de forma recursiva. A matéria envolvida aqui são as séries e os testes de convergência. Para determinar se a série converge ou diverge, vamos precisar usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os termos da série são definidos. Temos que:
a1 = 2
e para cada termo seguinte:
an+1 = 5n + 14n - 3 cdot an
Isso significa que cada termo depende do termo anterior.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita calculando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge. Se , a série diverge. Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular a razão an+1an = 5n + 14n - 3 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão conforme L = limn to infty 5n + 14n - 3 = limn to infty 5 + 1n4 - 3n = 54 tende ao infinito:
Portanto, .

Passo 6

Comparando o valor de 54 > 1 com 1:
De acordo com o Teste da Razão, como , a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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