Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações . Determine se converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma série infinita cujos termos são definidos de forma recursiva. A matéria envolvida aqui são as séries e os testes de convergência. Para determinar se a série converge ou diverge, vamos precisar usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os termos da série são definidos. Temos que:
e para cada termo seguinte:
Isso significa que cada termo depende do termo anterior.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita calculando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula do teste é:
Se , a série converge. Se , a série diverge. Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular a razão an+1an = 5n + 14n - 3 :
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa razão conforme L = limn to infty 5n + 14n - 3 = limn to infty 5 + 1n4 - 3n = 54 tende ao infinito:
Portanto, .
Passo 6
Comparando o valor de 54 > 1 com 1:
De acordo com o Teste da Razão, como , a série diverge.