Mostre que:
a) Se sumn=1^+infty|an| converge e bn=lllan & se & an >= 0 0, & se & an<0, então sumn=1^+infty bn converge.
b) Se sumn=1^+infty|an| converge e cn=llan, & se an<0 0, & se an >= 0, então sumn=1^+infty cn converge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série infinita sumn=1^+infty|an| que converge. Isso significa que a soma dos valores absolutos dos termos an está chegando a um número finito. Agora, definimos uma nova sequência bn onde cada termo bn é igual a an se an for maior ou igual a zero, e zero caso contrário. Queremos provar que a série sumn=1^+infty bn também converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries convergentes e manipulação de séries.

Passo 2

Vamos começar observando que, como sumn=1^+infty|an| converge, isso implica que sumn=1^+infty an também converge absolutamente. Agora, olhando para a definição de bn, vemos que bn pega apenas os termos não negativos da sequência an e substitui os negativos por zero. Isso significa que cada bn é menor ou igual a |an| porque estamos descartando os termos negativos ou mantendo-os.

Passo 3

Sabemos que se uma série convergente tem termos positivos e cada termo da nova série é menor ou igual ao termo correspondente da série original, então a nova série também converge. Isso é uma aplicação do Critério da Comparação para séries. Nesse caso, sumn=1^+infty bn <= sumn=1^+infty |an|, e como a série da direita converge, a série da esquerda também converge.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Novamente, temos que sumn=1^+infty|an| converge, o que significa que a soma dos valores absolutos dos termos an é finita. Desta vez, definimos uma nova sequência cn onde cada termo cn é igual a an se an for menor que zero, e zero caso contrário. Queremos provar que a série sumn=1^+infty cn também converge. Vamos aplicar os mesmos conceitos utilizados na primeira parte.

Passo 5

Como sumn=1^+infty|an| converge, sabemos que sumn=1^+infty an converge absolutamente. Observando a definição de cn, vemos que cn pega apenas os termos negativos da sequência an e substitui os não negativos por zero. Isso significa que cada cn é maior ou igual a -,|an|, já que estamos mantendo apenas os termos negativos.

Passo 6

Aplicando novamente o Critério da Comparação para séries, temos que sumn=1^+infty |cn| <= sumn=1^+infty |an|. Como a série dos termos absolutos da direita converge, a série dos termos absolutos da esquerda também converge, o que implica que a série sumn=1^+infty cn converge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^+infty cn converge.

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