Mostre que:
a) Se
converge e
, então
converge.
b) Se
converge e
, então
converge.
a) Se
b) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série infinita
que converge. Isso significa que a soma dos valores absolutos dos termos
está chegando a um número finito. Agora, definimos uma nova sequência
onde cada termo
é igual a
se
for maior ou igual a zero, e zero caso contrário. Queremos provar que a série
também converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries convergentes e manipulação de séries.
Passo 2
Vamos começar observando que, como
converge, isso implica que
também converge absolutamente. Agora, olhando para a definição de
, vemos que
pega apenas os termos não negativos da sequência
e substitui os negativos por zero. Isso significa que cada
é menor ou igual a
porque estamos descartando os termos negativos ou mantendo-os.
Passo 3
Sabemos que se uma série convergente tem termos positivos e cada termo da nova série é menor ou igual ao termo correspondente da série original, então a nova série também converge. Isso é uma aplicação do Critério da Comparação para séries. Nesse caso,
, e como a série da direita converge, a série da esquerda também converge.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Novamente, temos que
converge, o que significa que a soma dos valores absolutos dos termos
é finita. Desta vez, definimos uma nova sequência
onde cada termo
é igual a
se
for menor que zero, e zero caso contrário. Queremos provar que a série
também converge. Vamos aplicar os mesmos conceitos utilizados na primeira parte.
Passo 5
Como
converge, sabemos que
converge absolutamente. Observando a definição de
, vemos que
pega apenas os termos negativos da sequência
e substitui os não negativos por zero. Isso significa que cada
é maior ou igual a
, já que estamos mantendo apenas os termos negativos.
Passo 6
Aplicando novamente o Critério da Comparação para séries, temos que
. Como a série dos termos absolutos da direita converge, a série dos termos absolutos da esquerda também converge, o que implica que a série
converge.
Resposta
Portanto, a série
converge.