Aproxime o valor funcional dado conforme indicado e verifique seu trabalho comparando sua resposta com o valor funcional produzido diretamente por um recurso computacional.
5. Aproxime \cos 0,1 com precisão de cinco casas decimais usando a série de Maclaurin de \cos x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \cos(0,1) com precisão de cinco casas decimais usando a série de Maclaurin de \cos x. O conteúdo é expansão em série de potências e vamos precisar
  1. escrever a série de Maclaurin de \cos x,
  2. determinar até que termo precisamos somar para garantir erro menor que 10^{-5},
  3. calcular a soma parcial,
  4. comparar com o valor obtido por recurso computacional.

Passo 2

A série de Maclaurin de \cos x é
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
ou seja
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots.

Passo 3

Para garantir cinco casas decimais, queremos o resto R_N satisfazendo |R_N|<10^{-5}. A estimativa pelo próximo termo dá
|R_N|\le\frac{|x|^{2(N+1)}}{(2(N+1))!}.
Aqui x=0,1. Testando N=2 (isto é, somando até x^4/4!):
\frac{|0,1|^6}{6!} = \frac{10^{-6}}{720}\approx1{,}39\times10^{-9}<10^{-5},
logo basta somar até o termo \dfrac{x^4}{4!}.

Passo 4

Calculando a soma parcial S_2:
S_2 = 1 - \frac{(0,1)^2}{2!} + \frac{(0,1)^4}{4!} = 1 - \frac{0,01}{2} + \frac{0,0001}{24} = 1 - 0,005 + 0,0000041667 = 0,9950041667.
Arredondando a cinco casas decimais,
\cos(0,1)\approx0,99500.

Passo 5

Verificação em recurso computacional (por exemplo, calculadora ou software) dá
\cos(0,1)\approx0,9950041653,
que também arredonda para 0,99500. Portanto a aproximação está correta.

Resposta

0,99500

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