Usando a definição de limite, demonstre que
\lim _{x \rightarrow 2} 2 x^{2}=8

Passo 1

Queremos provar que
\lim_{x\to2}2x^2=8
usando a definição \varepsilon \delta: mostrar que, dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, se 0<|x-2|<\delta, então |2x^2-8|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos analisando a diferença:
|2x^2 - 8| = 2\,|x^2 - 4| = 2\,|x-2|\,|x+2|.
Para controlar o fator |x+2|, impomos provisoriamente |x-2|<1. Isso garante 1<x<3 e, portanto,
|x+2|\le 5.
Logo, sob a condição |x-2|<1, obtemos
|2x^2 - 8| \le 2\cdot|x-2|\cdot5 = 10\,|x-2|.

Passo 3

Agora, dado um \varepsilon>0, basta escolher
\delta = \min\bigl(1,\;\varepsilon/10\bigr).
Então, sempre que 0<|x-2|<\delta, temos ao mesmo tempo |x-2|<1 (para aplicar o passo anterior) e
|2x^2-8|\le 10\,|x-2| < 10\cdot\frac{\varepsilon}{10} = \varepsilon.

Resposta

Assim, pela definição de limite, concluímos que
\lim_{x\to 2}2x^2=8.

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