Aproxime o valor funcional dado conforme indicado e verifique seu trabalho comparando sua resposta com o valor funcional produzido diretamente por um recurso computacional.
10. Aproxime \operatorname{cosh} 0,1 com precisão de três casas decimais usando a série de Maclaurin de \operatorname{cosh} x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \operatorname{cosh}(0,1) com precisão de três casas decimais usando a série de Maclaurin de \operatorname{cosh} x. Vamos usar o fato de que
\operatorname{cosh} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!},
e truncar essa soma num N tal que o erro seja menor que 10^{-3}.

Passo 2

Escrevemos a soma parcial até n=2:
S_2 = \sum_{n=0}^{2} \frac{(0,1)^{2n}}{(2n)!} = \frac{(0,1)^0}{0!} + \frac{(0,1)^2}{2!} + \frac{(0,1)^4}{4!}.
Isso fornece os três primeiros termos da expansão.

Passo 3

Calculamos cada termo:
\frac{(0,1)^0}{0!} = 1, \qquad \frac{(0,1)^2}{2!} = \frac{0,01}{2} = 0,005, \qquad \frac{(0,1)^4}{4!} = \frac{0,0001}{24} \approx 0,000004167.
Logo,
S_2 = 1 + 0,005 + 0,000004167 = 1,005004167.

Passo 4

Para garantir a precisão de três casas decimais, avaliamos o termo de resto
R_2 \le \frac{|0,1|^{6}}{6!} = \frac{10^{-6}}{720} \approx 1,39\times10^{-9},
que é muito menor que 10^{-3}. Portanto, truncar em n=2 já assegura erro menor que uma unidade na terceira casa decimal.

Passo 5

Arredondando S_2 para três casas decimais obtemos
\operatorname{cosh}(0,1)\approx1,005.
Como verificação, um recurso computacional calcula \operatorname{cosh}(0,1)\approx1,005004168, confirmando que a aproximação 1,005 está correta até a terceira casa decimal.

Resposta

\displaystyle \operatorname{cosh}(0,1)\approx1,005 (truncado/arre­dondado a três casas decimais).

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