(a) Use a Fórmula (12) do texto para determinar uma série que convirja para ln 1,25.
(b) Aproxime ln 1,25 usando os dois primeiros termos da série. Arredonde sua resposta até três casas decimais e compare o resultado com aquele produzido diretamente por uma calculadora.

Passo 1

O enunciado pede para usar a fórmula de desenvolvimento em série de \ln(1+x) (expansão de Maclaurin) para obter uma série que convirja para \ln(1,25).

Passo 2

A fórmula (12) do texto é
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\frac{x^n}{n},
válida para -1 < x \le 1.

Passo 3

Para \ln(1,25) tomamos x=0,25. Assim
\ln(1,25) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\frac{(0,25)^n}{n}.

Passo 4

Aproximando pelos dois primeiros termos n=1 e n=2:
T_1 = 0,25, \quad T_2 = -\frac{(0,25)^2}{2} = -0,03125,
logo a soma parcial é
0,25 - 0,03125 = 0,21875.

Passo 5

Arredondando a três casas decimais, obtemos 0,219. A calculadora dá \ln(1,25)\approx0,223,
portanto o erro da aproximação com dois termos é cerca de 0,004.

Resposta

(a) \ln(1,25)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{(0,25)^n}{n}.
(b) Com dois termos obtemos 0,219, em comparação com 0,223 da calculadora.

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