Aproxime
em torno do ponto
com um polinômio de Taylor de graus 3 e 4 . Utilize estes polinômios para aproximar os valores de
e
, comparando estes resultados com os obtidos em uma calculadora.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Construir polinômios de Taylor (Maclaurin, pois o ponto é
) de graus 3 e 4 para a função . - Usar esses polinômios para aproximar
e , e comparar cada aproximação com o valor obtido na calculadora.
Informações dadas e assumidas:
- O ponto de expansão é
. - Os graus pedidos são
e . - Vou usar a notação decimal com vírgula (ex.:
). - Vou comparar com valores de referência obtidos por calculadora:
e (onde ).
Passo 2
Regra prática (fórmula que vou aplicar): para uma função
com derivadas suficientes, o polinômio de Taylor de ordem
centrado em
é
Explicando devagar:
é a
-ésima derivada de
avaliada em
;
é o fatorial de
(por exemplo
);
é a potência de
.
No nosso caso
. Observação importante: todas as derivadas de
são
(ou seja,
para todo
). Avaliando em
, obtemos
Portanto os coeficientes do polinômio ficam muito simples: todos são
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente os polinômios pedidos:
- Polinômio de grau 3:
- Polinômio de grau 3:
- Polinômio de grau 4:
Aqui eu expliquei cada termo: o termo constante é
(quando
), o termo linear é
(quando
), etc. O fator
no denominador reduz cada termo (por exemplo
,
).
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente cada termo para
(ou seja,
). Primeiro, calcular as potências e dividir por fatoriais, com contas explícitas para você conseguir reproduzir na prova.
Para
:
Agora os termos:
Somando para obter
e
:
Passo 5
Comparação com o valor da calculadora para
.
Peguei o valor na calculadora (valor de referência):
Peguei o valor na calculadora (valor de referência):
Agora calcule os erros absolutos:
Observação prática: já com
o erro ficou bem pequeno (algumas unidades em
), então para
até o grau 4 a aproximação é muito boa.
Passo 6
Agora repito o mesmo processo para
(aproximação de
, ou seja
).
Calcule termos para
:
Termos:
Somando:
Passo 7
Comparação com o valor da calculadora para
(valor de referência
):
Erros absolutos:
Interpretação rápida: para
o polinômio de grau 4 reduz bastante o erro em comparação com grau 3, mas ainda há erro na ordem de
. Para aproximações de
com pouca ordem, espere esse tipo de erro; aumentar o grau reduz ainda mais.
Passo 8
Estimativa teórica do erro (resto de Lagrange) para verificar se os erros numéricos fazem sentido:
Para Taylor de ordem
centrado em
, o resto em
pode ser escrito como
para algum
entre
e
. Como
, temos
. Uma cota simples é usar
. Assim uma cota prática é
Aplicando para
e
:
o que é maior que o erro real
(bom — é uma cota segura).
Para
e
:
que é maior que o erro observado
(novamente uma cota segura).
Essas cotas ajudam a saber, antes de calcular, quanto de ordem de grandeza esperar para o erro.
Passo 9
Resumo prático (como lembrar na prova):
- Para
em torno de , memorize os primeiros termos: . - Para calcular aproximação, calcule potência por potência (faça
, depois , etc.), divida pelo fatorial correspondente e some. - Use a cota do resto com
para estimar erro máximo possível.