Aproxime e^{x} em torno do ponto x_{0}=0 com um polinômio de Taylor de graus 3 e 4 . Utilize estes polinômios para aproximar os valores de e^{0,3} e e^{1}, comparando estes resultados com os obtidos em uma calculadora.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  • Construir polinômios de Taylor (Maclaurin, pois o ponto é x_{0}=0) de graus 3 e 4 para a função e^{x}.
  • Usar esses polinômios para aproximar e^{0,3} e e^{1}, e comparar cada aproximação com o valor obtido na calculadora.
Informações dadas e assumidas:
  • O ponto de expansão é x_{0}=0.
  • Os graus pedidos são 3 e 4.
  • Vou usar a notação decimal com vírgula (ex.: 0,3).
  • Vou comparar com valores de referência obtidos por calculadora: \,e^{0,3} e e^{1} (onde e\approx2,718281828459045).

Passo 2

Regra prática (fórmula que vou aplicar): para uma função f com derivadas suficientes, o polinômio de Taylor de ordem n centrado em x_{0} é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}.
Explicando devagar: f^{(k)}(x_{0}) é a k-ésima derivada de f avaliada em x_{0}; k! é o fatorial de k (por exemplo 3!=6); (x-x_{0})^{k} é a potência de x-x_{0}.
No nosso caso f(x)=e^{x}. Observação importante: todas as derivadas de e^{x} são e^{x} (ou seja, f^{(k)}(x)=e^{x} para todo k). Avaliando em x_{0}=0, obtemos
f^{(k)}(0)=e^{0}=1\quad\text{para todo }k.
Portanto os coeficientes do polinômio ficam muito simples: todos são \dfrac{1}{k!}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente os polinômios pedidos:
- Polinômio de grau 3:
P_{3}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}.
- Polinômio de grau 4:
P_{4}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}.
Aqui eu expliquei cada termo: o termo constante é 1 (quando k=0), o termo linear é x (quando k=1), etc. O fator k! no denominador reduz cada termo (por exemplo 3!=6, 4!=24).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente cada termo para x=0,3 (ou seja, x=0,3). Primeiro, calcular as potências e dividir por fatoriais, com contas explícitas para você conseguir reproduzir na prova.
Para x=0,3:
x=0,3,\quad x^{2}=0,09,\quad x^{3}=0,027,\quad x^{4}=0,0081.
Agora os termos:
\frac{x^{2}}{2!}=\frac{0,09}{2}=0,045, \qquad \frac{x^{3}}{3!}=\frac{0,027}{6}=0,0045, \qquad \frac{x^{4}}{4!}=\frac{0,0081}{24}=0,0003375.
Somando para obter P_{3}(0,3) e P_{4}(0,3):
P_{3}(0,3)=1+0,3+0,045+0,0045=1,3495.
P_{4}(0,3)=P_{3}(0,3)+0,0003375=1,3498375.

Passo 5

Comparação com o valor da calculadora para e^{0,3}.
Peguei o valor na calculadora (valor de referência):
e^{0,3}\approx1,349858808.
Agora calcule os erros absolutos:
\text{erro absoluto }(P_{3})=|e^{0,3}-P_{3}(0,3)|=|1,349858808-1,3495|=0,000358808.
\text{erro absoluto }(P_{4})=|e^{0,3}-P_{4}(0,3)|=|1,349858808-1,3498375|=0,000021308.
Observação prática: já com P_{4} o erro ficou bem pequeno (algumas unidades em 10^{-5}), então para x=0,3 até o grau 4 a aproximação é muito boa.

Passo 6

Agora repito o mesmo processo para x=1 (aproximação de e^{1}, ou seja e).
Calcule termos para x=1:
1^{2}=1,\quad 1^{3}=1,\quad 1^{4}=1.
Termos:
\frac{1^{2}}{2!}=\frac{1}{2}=0,5, \quad \frac{1^{3}}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666666667, \quad \frac{1^{4}}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416666667.
Somando:
P_{3}(1)=1+1+0,5+\frac{1}{6}=2,\!6666666667\quad(\text{faixa de repetição em }6).çã
P_{4}(1)=P_{3}(1)+\frac{1}{24}=2,\!7083333333.

Passo 7

Comparação com o valor da calculadora para e^{1} (valor de referência e):
e\approx2,718281828.
Erros absolutos:
\text{erro absoluto }(P_{3})=|e-P_{3}(1)|=|2,718281828-2,6666666667|=0,0516151613\approx0,051615162.
\text{erro absoluto }(P_{4})=|e-P_{4}(1)|=|2,718281828-2,7083333333|=0,0099484947\approx0,009948495.
Interpretação rápida: para x=1 o polinômio de grau 4 reduz bastante o erro em comparação com grau 3, mas ainda há erro na ordem de 10^{-2}. Para aproximações de e com pouca ordem, espere esse tipo de erro; aumentar o grau reduz ainda mais.

Passo 8

Estimativa teórica do erro (resto de Lagrange) para verificar se os erros numéricos fazem sentido:
Para Taylor de ordem n centrado em 0, o resto em x pode ser escrito como
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x. Como f^{(n+1)}(t)=e^{t}, temos |f^{(n+1)}(\xi)|=e^{\xi}. Uma cota simples é usar e^{|\xi|}\le e^{|x|}. Assim uma cota prática é
|R_{n}(x)|\le\frac{e^{|x|}|x|^{n+1}}{(n+1)!}.
Aplicando para x=0,3 e n=3:
|R_{3}(0,3)|\le\frac{e^{0,3}(0,3)^{4}}{4!}\approx\frac{1,3499\cdot0,0081}{24}\approx0,000456,
o que é maior que o erro real 0,000358808 (bom — é uma cota segura).
Para x=1 e n=4:
|R_{4}(1)|\le\frac{e^{1}\cdot1^{5}}{5!}=\frac{e}{120}\approx\frac{2,71828}{120}\approx0,022652,
que é maior que o erro observado 0,009948495 (novamente uma cota segura).
Essas cotas ajudam a saber, antes de calcular, quanto de ordem de grandeza esperar para o erro.

Passo 9

Resumo prático (como lembrar na prova):
  • Para e^{x} em torno de 0, memorize os primeiros termos: 1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{4}}{24}+\cdots.
  • Para calcular aproximação, calcule potência por potência (faça x^{2}, depois x^{3}, etc.), divida pelo fatorial correspondente e some.
  • Use a cota do resto com e^{|x|} para estimar erro máximo possível.

Resposta

P_{3}(x)=1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}
P_{4}(x)=1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{4}}{4!}
P_{3}(0,3)=1,3495
P_{4}(0,3)=1,3498375
e^{0,3}\\ (\text{calculadora})\approx1,349858808
|e^{0,3}-P_{3}(0,3)|=0,000358808
|e^{0,3}-P_{4}(0,3)|=0,000021308
P_{3}(1)=2,6666666667
P_{4}(1)=2,7083333333
e^{1}\\ (\text{calculadora})\approx2,718281828
|e^{1}-P_{3}(1)|\approx0,051615162
|e^{1}-P_{4}(1)|\approx0,009948495

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