Use o polinômio de Taylor de grau 2 para estimar
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: estimar
usando o polinômio de Taylor de grau
. Ou seja, queremos aproximar a função
no ponto
por um polinômio de grau 2 centrado em um ponto conveniente
próximo de
. Informação relevante: o valor a aproximar é
.
Passo 2
Escolha do ponto de expansão
e porquê: escolhemos
porque é perto de
(diferença
) e porque
é um número com potência simples (
), o que simplifica muito as derivadas avaliadas em
. Assim, vamos aproximar
em torno de
e usar
.
Passo 3
Fórmula do polinômio de Taylor de grau
e explicação das variáveis:
Aqui:
-
é a função que queremos aproximar ( ); -
é o ponto onde construímos a expansão ( ); -
e são as primeiras e segundas derivadas de avaliadas em ; -
é o ponto onde avaliamos o polinômio (aqui ); - o termo
vem do termo de segunda ordem na expansão de Taylor.
Passo 4
Calcular
,
e
e avaliá-los em
.
Primeiro, definimos
.
Derivadas:
Agora avaliar em
:
Passo 5
Montar o polinômio
e calcular para
. Definimos
.
Usando a fórmula:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Portanto a estimativa pelo polinômio de Taylor de grau
é
.
Passo 6
Comentário sobre a precisão (resto de Taylor) — para nos dar confiança na aproximação: o resto na forma de Lagrange para grau
é
para algum
entre
e
. Calculando a terceira derivada:
No intervalo entre
e
temos
. Como
, obtemos
.
Assim um limite superior para o erro é
Ou seja, o erro da aproximação por
é no máximo aproximadamente
, muito pequeno — a estimativa
é bastante precisa.