Use o polinômio de Taylor de grau 2 para estimar (4,2)^{3 / 2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: estimar (4,2)^{3/2} usando o polinômio de Taylor de grau 2. Ou seja, queremos aproximar a função f(x)=x^{3/2} no ponto x=4,2 por um polinômio de grau 2 centrado em um ponto conveniente a próximo de 4,2. Informação relevante: o valor a aproximar é x=4,2.

Passo 2

Escolha do ponto de expansão a e porquê: escolhemos a=4 porque é perto de 4,2 (diferença 0,2) e porque 4 é um número com potência simples ( \sqrt{4}=2), o que simplifica muito as derivadas avaliadas em a. Assim, vamos aproximar f(x) em torno de a=4 e usar x=4,2.

Passo 3

Fórmula do polinômio de Taylor de grau 2 e explicação das variáveis:
P_2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2.
Aqui:
  • f é a função que queremos aproximar ( f(x)=x^{3/2});
  • a é o ponto onde construímos a expansão ( a=4);
  • f'(a) e f''(a) são as primeiras e segundas derivadas de f avaliadas em a;
  • x é o ponto onde avaliamos o polinômio (aqui x=4,2);
  • o termo \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 vem do termo de segunda ordem na expansão de Taylor.

Passo 4

Calcular f(a), f'(x) e f''(x) e avaliá-los em a=4.
Primeiro, definimos f(x)=x^{3/2}.
Derivadas:
f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}, \qquad f''(x)=\frac{3}{4}x^{-1/2}.
Agora avaliar em a=4:
f(4)=4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.
f'(4)=\frac{3}{2}\sqrt{4}=\frac{3}{2}\cdot 2=3.
f''(4)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}=0,375.

Passo 5

Montar o polinômio P_2 e calcular para x=4,2. Definimos h=x-a=4,2-4=0,2.
Usando a fórmula:
P_2(4,2)=8 + 3\cdot(0,2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{8}\cdot(0,2)^2.
Calculemos termo a termo:
3\cdot(0,2)=0,6.
(0,2)^2=0,04.
\frac{3}{8}\cdot 0,04 = 0,375\cdot 0,04 = 0,015.
\frac{1}{2}\cdot 0,015 = 0,0075.
Somando:
P_2(4,2)=8 + 0,6 + 0,0075 = 8,6075.
Portanto a estimativa pelo polinômio de Taylor de grau 2 é 8,6075.

Passo 6

Comentário sobre a precisão (resto de Taylor) — para nos dar confiança na aproximação: o resto na forma de Lagrange para grau 2 é
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-a)^3
para algum \xi entre a e x. Calculando a terceira derivada:
f'''(x)=-\frac{3}{8}x^{-3/2}.
No intervalo entre 4 e 4,2 temos |f'''(\xi)|\le \frac{3}{8}\cdot 4^{-3/2}. Como 4^{-3/2}=\frac{1}{8}, obtemos |f'''(\xi)|\le \frac{3}{64}.
Assim um limite superior para o erro é
|R_2|\le \frac{3/64}{3!}\,|0,2|^3 = \frac{3/64}{6}\cdot 0,008 = \frac{1}{128}\cdot 0,008 = 0,0000625.
Ou seja, o erro da aproximação por P_2 é no máximo aproximadamente 0,0000625, muito pequeno — a estimativa 8,6075 é bastante precisa.

Resposta

8,6075

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