Encontre os extremos relativos da função, classificando-os como máximo ou mínimo local, ou nenhum dos dois.
f(x)=\frac{\ln (x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} e classificá-los como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}.
  • Domínio natural: x>0 (porque \ln(x) exige x>0).
  • O objetivo: localizar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida dentro do domínio) e dizer se em cada ponto há máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.

Passo 2

Vou calcular a derivada f'(x). Uma forma simples é reescrever
f(x)=\ln(x)\cdot x^{-1}.
Para derivar um produto u(x)\,v(x) uso a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Aqui u(x)=\ln(x) e v(x)=x^{-1}. Então:
  • u'(x)=\dfrac{1}{x} (derivada de \ln(x));
  • v'(x)=-x^{-2} (derivada de x^{-1}).
    Aplicando a regra do produto:
f'(x)=\dfrac{1}{x}\cdot x^{-1} + \ln(x)\cdot(-x^{-2}).
Agora simplifico cada termo: \dfrac{1}{x}\cdot x^{-1}=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}. Assim
f'(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^{2}}.

Passo 3

Definição prática de ponto crítico: valores de x no domínio onde f'(x)=0 ou f' não está definida. Aqui f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^{2}}.
  • O denominador x^{2} nunca é zero para x>0, então f' está definida em todo o domínio.
  • Para f'(x)=0 precisamos do numerador zero: 1-\ln(x)=0\Rightarrow \ln(x)=1\Rightarrow x=e.
    Portanto existe exatamente um ponto crítico no domínio: x=e.

Passo 4

Classificação por mudança de sinal de f' (teste da primeira derivada). A ideia: se f' muda de positivo para negativo passando por um ponto crítico, é máximo local; se muda de negativo para positivo, é mínimo local; se não muda de sinal, não é extremo.
Observe que o sinal de f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^{2}} depende só do numerador 1-\ln(x) porque x^{2}>0 sempre. Então:
  • Para 0<x<e temos \ln(x)<1, logo 1-\ln(x)>0. Assim f'(x)>0 em (0,e) — a função é crescente nesse intervalo.
  • Para x>e temos \ln(x)>1, logo 1-\ln(x)<0. Assim f'(x)<0 em (e,\infty) — a função é decrescente nesse intervalo.
Conclusão: f' muda de positivo para negativo ao passar por x=e. Isso caracteriza um máximo local em x=e.

Passo 5

Verificação alternativa usando a segunda derivada (teste da segunda derivada). Vou calcular f''(x). Parto de f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^{2}} e uso a regra do quociente ou produto; aqui faço direto pelo quociente: com g(x)=1-\ln(x) e h(x)=x^{2},
f''(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}.
Calculando as derivadas:
  • g'(x)=-\dfrac{1}{x}.
  • h'(x)=2x.
    Substituindo:
f''(x)=\frac{\left(-\dfrac{1}{x}\right)x^{2}-(1-\ln(x))2x}{x^{4}} =\frac{-x-2x(1-\ln(x))}{x^{4}}.
Simplifico o numerador:
-x-2x(1-\ln(x))=-x-2x+2x\ln(x)=x(2\ln(x)-3).
Portanto
f''(x)=\frac{2\ln(x)-3}{x^{3}}.
Avalio em x=e: \ln(e)=1, então
f''(e)=\frac{2\cdot 1-3}{e^{3}}=\frac{-1}{e^{3}}<0.
Como f''(e)<0, a concavidade é para baixo em x=e, o que confirma que x=e é um ponto de máximo local.

Passo 6

Calculo do valor da função em x=e:
f(e)=\frac{\ln(e)}{e}=\frac{1}{e}.
Além disso, com o teste da primeira derivada vimos que f cresce em (0,e) e decresce em (e,\infty). Isso implica que o máximo local em x=e é também o máximo absoluto (global) no domínio x>0, mas a questão pedia apenas extremos relativos.

Passo 7

Resumo final: há um único ponto crítico x=e; a função é crescente antes e decrescente depois de e, e a segunda derivada em e é negativa. Logo x=e é um máximo local (e o valor é f(e)=1/e). Não existem mínimos locais no domínio.

Resposta

Máximo local em x=e com valor f(e)=\dfrac{1}{e}.
Não há mínimo local.

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