Encontre os extremos relativos da função, classificando-os como máximo ou mínimo local, ou nenhum dos dois.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois. Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - Domínio natural:
(porque exige ). - O objetivo: localizar pontos críticos (onde
ou indefinida dentro do domínio) e dizer se em cada ponto há máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.
Passo 2
Vou calcular a derivada
. Uma forma simples é reescrever
Para derivar um produto
uso a regra do produto:
. Aqui
e
. Então:
-
(derivada de ); -
(derivada de ).
Aplicando a regra do produto:
Agora simplifico cada termo:
. Assim
Passo 3
Definição prática de ponto crítico: valores de
no domínio onde
ou
não está definida. Aqui
.
- O denominador
nunca é zero para , então está definida em todo o domínio. - Para
precisamos do numerador zero: .
Portanto existe exatamente um ponto crítico no domínio:.
Passo 4
Classificação por mudança de sinal de
(teste da primeira derivada). A ideia: se
muda de positivo para negativo passando por um ponto crítico, é máximo local; se muda de negativo para positivo, é mínimo local; se não muda de sinal, não é extremo.
Observe que o sinal de
depende só do numerador
porque
sempre. Então:
- Para
temos , logo . Assim em — a função é crescente nesse intervalo. - Para
temos , logo . Assim em — a função é decrescente nesse intervalo.
Conclusão:
muda de positivo para negativo ao passar por
. Isso caracteriza um máximo local em
.
Passo 5
Verificação alternativa usando a segunda derivada (teste da segunda derivada). Vou calcular
. Parto de
e uso a regra do quociente ou produto; aqui faço direto pelo quociente: com
e
,
Calculando as derivadas:
-
. -
.
Substituindo:
Simplifico o numerador:
Portanto
Avalio em
:
, então
Como
, a concavidade é para baixo em
, o que confirma que
é um ponto de máximo local.
Passo 6
Calculo do valor da função em
:
Além disso, com o teste da primeira derivada vimos que
cresce em
e decresce em
. Isso implica que o máximo local em
é também o máximo absoluto (global) no domínio
, mas a questão pedia apenas extremos relativos.
Passo 7
Resumo final: há um único ponto crítico
; a função é crescente antes e decrescente depois de
, e a segunda derivada em
é negativa. Logo
é um máximo local (e o valor é
). Não existem mínimos locais no domínio.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Não há mínimo local.
Não há mínimo local.