O aquecedor de uma casa quebra, num dia em que a temperatura ambiente é
. Devido a isso, a temperatura dentro da casa cai de
para
, em 1.0 h . A proprietária destiga o aquecedor e aumenta o isolamento da casa. Com isso, em outro dia semelhante, é necessário o dobro de tempo para a temperatura no interior da casa cair de
para
. sem aquecedor. Qual a razão entre o valor da constante
, yue aparece na lei de Newton de resfriamento (Problema 17), antes e depois de aumentar o isolamento da casa?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o problema está pedindo. A gente tem uma casa cujo aquecedor quebrou num dia onde a temperatura externa é de
. Inicialmente, a temperatura dentro da casa cai de
para
em 1 hora. A dona da casa então aumenta o isolamento, e nessa nova condição, a mesma queda de temperatura leva o dobro do tempo, ou seja, 2 horas. Queremos descobrir qual é a razão entre a constante
na lei de resfriamento de Newton antes e depois de aumentar o isolamento. Vamos usar a lei de resfriamento de Newton para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matematicamente, isso é escrito como:
Onde:
-
é a temperatura do objeto (no caso, a temperatura dentro da casa). -
é a temperatura externa. -
é a constante de resfriamento que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Aqui,
é a temperatura inicial no tempo
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula aos dois cenários do problema.
Primeiro cenário (antes do isolamento aprimorado):
- Temperatura inicial,
- Temperatura final,
- Tempo,
hora - Temperatura ambiente,
- Constante,
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 15:
Aplicando o logaritmo natural:
Portanto:
Passo 5
Segundo cenário (após o isolamento aprimorado):
- As variáveis iniciais são as mesmas, exceto pelo tempo, que agora é o dobro:
horas. - Constante,
Aplicando na fórmula:
Simplificando:
Dividindo por 15:
Aplicando o logaritmo natural:
Portanto:
Passo 6
Queremos encontrar a razão entre
e
, ou seja,
.
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A razão entre a constante
antes e depois de aumentar o isolamento da casa é 2.