O aquecedor de uma casa quebra, num dia em que a temperatura ambiente é 7,0^circ C. Devido a isso, a temperatura dentro da casa cai de 22^circ C para 18^circ C, em 1.0 h . A proprietária destiga o aquecedor e aumenta o isolamento da casa. Com isso, em outro dia semelhante, é necessário o dobro de tempo para a temperatura no interior da casa cair de 22^circ C para 18^circ C. sem aquecedor. Qual a razão entre o valor da constante A, yue aparece na lei de Newton de resfriamento (Problema 17), antes e depois de aumentar o isolamento da casa?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o problema está pedindo. A gente tem uma casa cujo aquecedor quebrou num dia onde a temperatura externa é de 7,0^circ C. Inicialmente, a temperatura dentro da casa cai de 22^circ C para 18^circ C em 1 hora. A dona da casa então aumenta o isolamento, e nessa nova condição, a mesma queda de temperatura leva o dobro do tempo, ou seja, 2 horas. Queremos descobrir qual é a razão entre a constante A na lei de resfriamento de Newton antes e depois de aumentar o isolamento. Vamos usar a lei de resfriamento de Newton para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matematicamente, isso é escrito como:
dTdt = -A (T - Tambiente)
Onde:
  • T é a temperatura do objeto (no caso, a temperatura dentro da casa).
  • Tambiente é a temperatura externa.
  • A é a constante de resfriamento que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
dTT - Tambiente = -A , dt
Integrando ambos os lados:
ln|T - Tambiente| = -A t + C
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
T(t) = Tambiente + (T0 - Tambiente) e^-A t
Aqui, T0 é a temperatura inicial no tempo t = 0.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos dois cenários do problema.
Primeiro cenário (antes do isolamento aprimorado):
  • Temperatura inicial, T0 = 22^circ C
  • Temperatura final, T = 18^circ C
  • Tempo, t = 1 hora
  • Temperatura ambiente, Tambiente = 7^circ C
  • Constante, A1
Substituindo na fórmula:
18 = 7 + (22 - 7) e^-A1 cdot 1
Simplificando:
11 = 15 e^-A1
Dividindo ambos os lados por 15:
1115 = e^-A1
Aplicando o logaritmo natural:
ln(1115) = -A1
Portanto:
A1 = -ln(1115)

Passo 5

Segundo cenário (após o isolamento aprimorado):
  • As variáveis iniciais são as mesmas, exceto pelo tempo, que agora é o dobro: t = 2 horas.
  • Constante, A2
Aplicando na fórmula:
18 = 7 + (22 - 7) e^-A2 cdot 2
Simplificando:
11 = 15 e^-2A2
Dividindo por 15:
1115 = e^-2A2
Aplicando o logaritmo natural:
ln(1115) = -2A2
Portanto:
A2 = -12 ln(1115)

Passo 6

Queremos encontrar a razão entre A1 e A2, ou seja, A1A2.
Substituindo os valores encontrados:
A1A2 = -ln(1115)-12 ln(1115) = 112 = 2

Resposta

A razão entre a constante A antes e depois de aumentar o isolamento da casa é 2.

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