Um aquecedor formado por um fio resistor longo e homogêneo de raio
cm e condutividade térmica
é usado para ferver água em pressão atmosférica pela passagem de corrente elétrica. O calor é gerado uniformente no fio como resultado do aquecimento devido à resistência, a uma taxa de
. Considerando que a temperatura da superfície externa do fio vale
, obtenha o perfil de temperatura do fio sob condições de operação permanente.
Passo 1
Beleza, temos um fio cilíndrico (raio
cm) que gera calor uniformemente em seu volume a uma taxa
;W/m³. A condutividade térmica do material é
;W/m·°C e a superfície externa do fio está a
°C.
Conteúdo: condução de calor em regime permanente em um cilindro com geração volumétrica de calor.
O que precisamos:
Conteúdo: condução de calor em regime permanente em um cilindro com geração volumétrica de calor.
O que precisamos:
- Escrever a equação diferencial de condução radial com termo gerador;
- Aplicar as condições de contorno (regularidade no centro e
); - Integrar e encontrar
.
Passo 2
A teoria básica diz que, em regime permanente e sem variações no eixo
nem em torno do fio, a equação de condução em coordenadas cilíndricas com geração volumétrica é:
Aqui
é o “forçamento” devido ao calor gerado. Nosso objetivo é resolver essa ODE para
.
Passo 3
Vamos reescrever e integrar:
- Multiplica por
:
- Integra uma vez em
:
- Divide por
e integra de novo:
Passo 4
Agora as condições de contorno:
a) No eixo (r=0) a temperatura não pode explodir, então (porque
diverge).
b) Em , temos
. Substituindo:
a) No eixo (r=0) a temperatura não pode explodir, então
b) Em
Logo a solução geral vira: