Um aquecedor formado por um fio resistor longo e homogêneo de raio r0=0,5 cm e condutividade térmica k=13,5 W / m ^circ C é usado para ferver água em pressão atmosférica pela passagem de corrente elétrica. O calor é gerado uniformente no fio como resultado do aquecimento devido à resistência, a uma taxa de 4,3 times 10^7 W / m^3. Considerando que a temperatura da superfície externa do fio vale Ts=108^circ C, obtenha o perfil de temperatura do fio sob condições de operação permanente.

Passo 1

Beleza, temos um fio cilíndrico (raio cm) que gera calor uniformemente em seu volume a uma taxa ;W/m³. A condutividade térmica do material é ;W/m·°C e a superfície externa do fio está a °C.
Conteúdo: condução de calor em regime permanente em um cilindro com geração volumétrica de calor.
O que precisamos:
  1. Escrever a equação diferencial de condução radial com termo gerador;
  2. Aplicar as condições de contorno (regularidade no centro e );
  3. Integrar e encontrar .

Passo 2

A teoria básica diz que, em regime permanente e sem variações no eixo 1r,ddr!l(r,dTdrr)+q'''k=0 nem em torno do fio, a equação de condução em coordenadas cilíndricas com geração volumétrica é:
Aqui é o “forçamento” devido ao calor gerado. Nosso objetivo é resolver essa ODE para .

Passo 3

Vamos reescrever e integrar:
  1. Multiplica por ddr!l(r,dTdrr) + q'''k,r = 0 :
r,dTdr = -q'''k,r^22 + C1
  1. Integra uma vez em dTdr = -q'''k,r2 + C1r, T(r) = -q'''k,r^24 + C1ln r + C2 :
  1. Divide por e integra de novo:

Passo 4

Agora as condições de contorno:
a) No eixo (r=0) a temperatura não pode explodir, então Ts = -q'''k,r0^24 + C2 Longrightarrow C2 = Ts + q'''k,r0^24 (porque T(r) = -q'''k,r^24 + Ts + q'''k,r0^24 = Ts + q'''4,k,l(r0^2 - r^2r) diverge).
b) Em , temos . Substituindo:
Logo a solução geral vira:

Resposta

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