Os ovos cozinham à medida que suas proteínas desnaturam e coagulam. Um ovo é considerado cozido quando sua gema está firme. Essa condição ocorre quando a temperatura no centro da gema é igual a 75^circ C. Estime o tempo necessário para cozinhar um ovo para as sequintes condic̣ões:
a) o diâmetro menor é igual a 75 mm ;
b) a condutividade térmica k do ovo inteiro é aproximadamente igual à condutividade da clara. Desconsiderar alterações significativas de propriedades do ovo e também de perda de calor durante o cozimento;
c) o coeficiente de transferência de calor convectivo entre o ovo e a água h é igual a 1000 W / m^2 K;
d) o ovo possui temperatura uniforme de 20^circ C no momento em que é inserido na água a 85^circ C.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gema do ovo só “cozinha” de verdade quando chega a 75 °C no centro. A gente trata o ovo como uma esfera de diâmetro 75 mm, com condutividade térmica do tipo da clara (vou usar k≈0,5 W/m·K), densidade ρ≈1000 kg/m³ e calor específico c≈3600 J/kg·K. O ovo parte de 20 °C e vai pra água a 85 °C, com coeficiente de convecção h=1000 W/m²·K. O conteúdo é condução transiente em esfera com convecção na superfície. A gente vai precisar:
• Número de Biot (pra ver se vale lumped)
• Solução em série para esfera com convecção
• Definição de Fourier number e temperatura adimensional

Passo 2

  1. Primeiro checar se rola usar o método “lumped capacitance”. A gente calcula o número de Biot:
Bi ;=;h,Rk com R=D2=0,0375; m
Substituindo:
Bi=1000; W/m^2K;times0,0375; m0,5; W/mK approx75
Como Bi≫0,1, não dá pra usar lumped – temos que resolver a condução transiente completa.

Passo 3

  1. A solução geral para temperatura no centro de uma esfera com convecção é dada pela expansão:
theta(0,Fo) ;=;T(0,t)-TinftyTi-Tinfty ;=;sumn=1^infty Cn,expl(-lambdan^2,For)
onde
  • Cn =4sinlambdan2lambdan+sin2lambdan é a temperatura do banho,
  • é a inicial,
  • é a temperatura adimensional,
  • é o Fourier number com ,
  • são os autovalores da equação ,
  • e
Na prática a gente mantém só o primeiro termo (n=1).

Passo 4

  1. Vamos achar lambda1approx1,556 Longrightarrow C1=4sin1,5562cdot1,556+sin(2cdot1,556) approx1,27 resolvendo theta(0, Fo)approx1,27,expl(-1,556^2,For) . Numericamente dá algo como
theta =75-8520-85 =-10-65 approx0,1538
Aí a aproximação fica
1,27,e^-1,556^2,Fo=0,1538 Longrightarrow e^-2,422,Fo=0,1211 Longrightarrow Foapprox0,87
Queremos , então
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Passo 5

  1. Agora alpha=krho c approx0,51000cdot3600 approx1,39times10^-7, m^2/ s . Calculando t =Fo,R^2alpha =0,87,(0,0375)^21,39times10^-7 approx9,0times10^3, s approx150;min :
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Resposta

O tempo estimado para a gema atingir 75 °C no centro é cerca de 9 000 s, ou seja, aproximadamente 2,5 horas.

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