Sabendo-se que se deseja tratar, com ciclones, uma corrente de ar a
e 1 atm , contendo finos de café (
), pede-se:
a. Determinar o diâmetro dos ciclones Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R. capazes de recuperar, com
de eficiência, a partícula de café cujo tamanho é a mediana da distribuição.
b. Calcular a eficiência total fornecida pelos ciclones, sabendo-se que o modelo de Gates-GaudinSchuhmann ajusta bem a curva de distribuição de tamanhos das partículas de finos de café (Tabela 1 ).
c. Calcular, para cada tipo de ciclone, o número de ciclones, operando em paralelo, que seria necessário para tratar uma vazão de operação de
.
d. Qual dos 3 tipos de ciclones você escolheria para efetuar este serviço? Por quê?
Dados:
Table 1: Tabela 1 - Análise granulométrica da amostra\captionsetup{labelformat=empty}
210 a 149
0,22
149 a 105
0,18
105 a 74
0,25
74 a 55
0,12
55 a 40
0,15
40 a 30
0,08
30 a 0
0
a. Determinar o diâmetro dos ciclones Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R. capazes de recuperar, com
b. Calcular a eficiência total fornecida pelos ciclones, sabendo-se que o modelo de Gates-GaudinSchuhmann ajusta bem a curva de distribuição de tamanhos das partículas de finos de café (Tabela 1 ).
c. Calcular, para cada tipo de ciclone, o número de ciclones, operando em paralelo, que seria necessário para tratar uma vazão de operação de
d. Qual dos 3 tipos de ciclones você escolheria para efetuar este serviço? Por quê?
Table 1: Tabela 1 - Análise granulométrica da amostra
\captionsetup{labelformat=empty}
|
|
|
| 210 a 149 | 0,22 |
| 149 a 105 | 0,18 |
| 105 a 74 | 0,25 |
| 74 a 55 | 0,12 |
| 55 a 40 | 0,15 |
| 40 a 30 | 0,08 |
| 30 a 0 | 0 |
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas relacionadas ao tratamento por ciclones de uma corrente de ar a
e
, contendo finos de café (densidade sólida
):
- (a) Determinar o diâmetro dos ciclones Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R. capazes de recuperar, com
de eficiência, a partícula de café cuja dimensão é a mediana da distribuição. - (b) Calcular a eficiência total fornecida pelos ciclones, sabendo que o modelo de Gates–Gaudin–Schuhmann (GGS) ajusta bem a curva de distribuição granulométrica (Tabela 1).
- (c) Calcular, para cada tipo de ciclone, o número de ciclones operando em paralelo necessário para tratar uma vazão de operação de
. - (d) Escolher, entre os 3 tipos, qual ciclone usar e justificar.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Temperatura do ar:
. - Pressão:
. - Viscosidade dinâmica do ar:
. - Constante dos gases informada:
. - Densidade das partículas:
. - Tabela granulométrica (cada classe com fração em massa
): -
a : -
a : -
a : -
a : -
a : -
a : -
a :
-
O enunciado não especifica explicitamente constantes empíricas das correlações para cada tipo de ciclone (por exemplo valores de
, curvas de eficiência ou parâmetros da curva de eficiência do tipo
), nem fornece uma capacidade por ciclone (vazão que cada ciclone deverá tratar). Esses parâmetros são essenciais para obter numericamente os diâmetros dos ciclones e o número de unidades. Vou prosseguir calculando tudo o que for determinístico a partir dos dados (mediana, ajuste GGS, fórmulas gerais que seriam usadas), explicar didaticamente todas as fórmulas e, em seguida, indicar exatamente quais dados empíricos faltam para completar os cálculos numéricos finais.
Passo 2
Calcular a mediana (tamanho mediano,
) da distribuição granulométrica dada na tabela.
-
Interpretação prática: a mediana
é o diâmetro tal que da massa é mais fina (passa por uma peneira desse diâmetro). -
Primeiro calculo as frações cumulativas de material mais fino, somando as classes do menor diâmetro para o maior:
- Classe
: cumulativa até é . - Acrescentando
: (cumulativa até ). - Acrescentando
: (até ). - Acrescentando
: (até ). - Acrescentando
: (até ). - As classes maiores resultam em cumulativa
até 1,0 ao somar todas.
- Classe
-
Observação: a fração
(50%) ocorre dentro da classe , porque antes dessa classe a cumulativa é e após essa classe é . Então precisamos interpolar dentro dessa classe para achar exatamente . -
Interpolação linear dentro da classe (pressupõe distribuição uniforme dentro da classe, procedimento padrão quando não há mais detalhe):
- Fração dentro da classe necessária para chegar a
é . - Largura da classe:
. - Posição dentro da classe:
. - Portanto:
- Fração dentro da classe necessária para chegar a
-
Resultado: a partícula mediana da distribuição tem aproximadamente
. (Guarde este valor para os próximos passos.)
Passo 3
Ajuste da distribuição pelo modelo Gates–Gaudin–Schuhmann (GGS) e interpretação.
- O modelo GGS (muito usado em granulometria) representa a fração cumulativa mais fina
por uma lei de potência: onde: -
é a fração cumulativa mais fina (por exemplo por definição de mediana), -
é o maior diâmetro representativo da amostra (aqui podemos tomar , pois é o limite superior da primeira classe), -
é o expoente do ajuste (parâmetro da distribuição).
-
- Podemos determinar
usando o ponto da mediana (onde ): - Substituindo
e :
-
Resultado: o ajuste GGS dá aproximadamente
. Assim a curva cumulativa pode ser escrita como -
Como exercício prático: com esse
é possível estimar a fração mais fina para qualquer diâmetro contínuo, sem usar diretamente as classes da tabela.
Passo 4
Modelos de separação por ciclone — explicação didática das fórmulas necessárias para projetar o diâmetro do ciclone e calcular eficiência.
Vou explicar passo a passo a formulação que se usa na prática (a parte teórica que você precisa saber para a prova) e em seguida dizer o que falta para calcular numericamente as respostas pedidas.
- Conceito físico e uso do número de Stokes (para ciclones com fluxo de gás)
- A ideia simplificada: uma partícula de diâmetro
e densidade numa corrente giratória possui uma velocidade radial para a parede que resulta da força centrífuga (que tende a arremessar a partícula para a parede) equivalente a uma velocidade de sedimentação em um campo induzido. Um critério prático é usar o chamado número de Stokes (não confundir com o número de Stokes em fluidodinâmica rotacional — aqui o conceito leva à definição de um “Stk” prático para ciclones). - Uma forma comum de escrever o número adimensional de corte para ciclones é:
onde: -
é o diâmetro de corte do ciclone (mediana de separação), -
é a velocidade média de entrada do gás no ciclone (m/s), -
é o diâmetro característico do ciclone (m) — por exemplo o diâmetro do corpo/corpo cilíndrico ou um diâmetro equivalente adotado pela correlação, -
é a viscosidade dinâmica do gás (Pa·s), -
é densidade das partículas (kg/m^3).
-
- Observação importante:
é uma constante empírica característica do tipo/concepção geométrica do ciclone (Lapple, Stairmand H.E., Stairmand H.R. etc.). Valores numéricos de são obtidos experimentalmente e tabelados na literatura. Cada modelo geométrico possui um típico valor de (ou curva de eficiência), portanto é imprescindível ter esses valores para projetar .
- Relação entre vazão
no ciclone e velocidade de entrada
- A velocidade de entrada pode ser relacionada à vazão que passa por um ciclone e ao diâmetro de entrada; uma aproximação prática (usada para análise de escala) é:
assumindo que a seção equivalente de entrada corresponde ao diâmetro externo . (Isto é uma aproximação útil para obter uma expressão explícita para .) - Substituindo
na definição de , obtemos uma expressão que relaciona , , , , e : Reorganizando para isolar : Esta é a expressão prática que se usa quando se quer projetar o diâmetro exigido para obter um dado , assumindo-se a vazão por unidade e conhecendo do ciclone.
- Curva de eficiência de corte (grade-efficiency)
- A curva de eficiência de um ciclone (fração de captura em função do diâmetro da partícula) é comumente ajustada por uma função tipo:
onde: -
é a eficiência de captura para partículas de diâmetro , -
é o diâmetro de corte definido anteriormente, -
é um parâmetro de “nitidez” (sharpness) da curva (valores típicos entre e dependendo do ciclone). Também existem outras formas empíricas para a curva de eficiência; todas dependem de parâmetros empíricos.
-
- A eficiência total para a corrente (média em massa) é então:
onde é a densidade de massa por diâmetro (pdf). Com o modelo GGS e usando uma discretização pelas classes da tabela, isso se reduz a uma soma ponderada: onde é um diâmetro representativo da classe (por exemplo o ponto médio) e é a fração de massa na classe (dados da tabela).
- O que falta para calcular numericamente os diâmetros e eficiências pedidas
-
Para usar a fórmula de
(box acima) precisamos de: -
: a vazão que cada ciclone deve tratar. O enunciado pede, em (c), quantas unidades em paralelo para tratar ; portanto devemos escolher um critério: ou projetamos para um ciclone que trata a vazão total (ou seja, um só ciclone), ou escolhemos um valor prático de por ciclone (por exemplo valores usuais de projeto) e então calculamos e quantos ciclones são necessários. O enunciado não dá uma vazão por ciclone, então essa escolha é necessária e é uma decisão de projeto (padrões da planta). -
(ou outra correlação empírica equivalente) para cada tipo de ciclone: Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R. — estes são parâmetros experimentais ou tabulados na literatura técnica para cada geometria de ciclone. Sem esses números (ou as curvas de eficiência empíricas) não é possível obter um valor numérico único e correto para . -
(sharpness) ou a forma da curva de eficiência para calcular e integrar sobre a distribuição. Novamente, é empírico e depende do tipo de ciclone.
-
-
Observação prática: a literatura técnica e manuais de separadores dão tabelas de
e curvas de eficiência para Lapple e para as geometrias de Stairmand (H.E. — High Efficiency — e H.R. — High Removal), ou então fornecem gráficos vs vazão para cada diâmetro e geometria. Esses dados são exatamente o que falta aqui.
Passo 5
Como proceder numericamente quando tivermos os dados empíricos (aqui mostro o procedimento completo — você poderá fazer na prova ou no trabalho se tiver os valores de
e o critério de vazão por ciclone):
-
Determinar propriedades do ar (numérico já calculável com os dados do enunciado):
- Converter viscosidade:
. - Densidade do ar (usar a constante
dada e massa molar do ar ): com , , , então (isto foi calculado para você; é útil se precisar comparar com em fórmulas mais completas.) - Confirmar
e antes do projeto.
- Converter viscosidade:
-
Escolher o critério de vazão por ciclone
: - Opção A (simples): projetar um único ciclone que trate
(seria um ciclone gigante). - Opção B (prática): escolher um
típico por unidade (por exemplo ou outro valor de projeto) e calcular quantos ciclones em paralelo são necessários: . - Na prova, a escolha deve ser justificada ou fornecida pelo enunciado. Sem ela, a resposta numérica final não é única.
- Opção A (simples): projetar um único ciclone que trate
-
Aplicar a fórmula para
: - Insira
, , , o escolhido e o tabelado correspondente ao ciclone (Lapple, Stairmand H.E., Stairmand H.R.). Calcule em metros.
- Insira
-
Calcular a curva de eficiência
(escolhendo a forma e o parâmetro , por exemplo se for assumido), calcular para cada classe (usar diâmetro médio da classe como representante), e então calcular a eficiência total: - Se preferir usar o ajuste GGS para obter uma distribuição contínua, calcule a pdf
a partir de e faça a integração numérica (pois já está normalizada).
- Se preferir usar o ajuste GGS para obter uma distribuição contínua, calcule a pdf
-
Número de ciclones em paralelo:
- Depois de escolher
e achar , o número necessário para a vazão total é - Alternativamente, se a hipótese foi projetar um único ciclone para tratar
(Opção A), então .
- Depois de escolher
-
Critério de escolha entre os 3 ciclones:
- Compare
(tamanho físico), (eficiência média), custo estimado (típico: ciclones maiores têm maior custo e ocupação de área), perda de carga (ciclones de alta eficiência tipicamente têm maior queda de pressão), ocupação de área e facilidade de fabricação. A decisão final depende de trade-offs: eficiência vs custo vs queda de pressão vs espaço.
- Compare
Passo 6
Resumo do que posso calcular agora (com os dados do enunciado) e do que não posso calcular sem informações adicionais:
-
Eu já calculei:
-
. -
. - A mediana da distribuição granulométrica:
- Ajuste GGS: expoente
, de modo que .
-
-
Não posso calcular numericamente (valores numéricos de
e ) sem: - Os valores empíricos de
(ou tabelas/curvas de vs. para cada geometria Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R.), e - A decisão de qual vazão por ciclone
adotar (ou a escolha de projetar cada ciclone para a vazão total). - O parâmetro
(ou a forma exata) da curva de eficiência para cada ciclone, ou as curvas experimentais de eficiência.
- Os valores empíricos de
Se você já tem na sua apostila ou no enunciado os valores de
(ou tabelas/curvas), eu consigo imediatamente substituir na fórmula de
e nas expressões de
e concluir os cálculos passo a passo até os números finais (e também calular o número de ciclones para
). Se preferir, eu posso também usar valores típicos da literatura como exemplo ilustrativo (eu explico o raciocínio e mostro as contas) — mas isso seria um exemplo e não necessariamente o que o seu professor espera, a menos que esses valores típicos coincidam com os usados na sua disciplina.
Resposta
Impossível fornecer os valores numéricos finais solicitados (diâmetros dos ciclones e eficiências totais) sem os parâmetros empíricos de projeto para cada ciclone (por exemplo os valores de
ou as curvas de eficiência para Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R.) e sem a escolha da vazão por ciclone
. Com os
e um
posso calcular imediatamente
,
e o número de ciclones necessários usando as fórmulas e o procedimento demonstrados acima.