Sabendo-se que se deseja tratar, com ciclones, uma corrente de ar a 60^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , contendo finos de café ( \rho_{\mathrm{s}}=1,15 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ), pede-se:
a. Determinar o diâmetro dos ciclones Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R. capazes de recuperar, com 99 \% de eficiência, a partícula de café cujo tamanho é a mediana da distribuição.
b. Calcular a eficiência total fornecida pelos ciclones, sabendo-se que o modelo de Gates-GaudinSchuhmann ajusta bem a curva de distribuição de tamanhos das partículas de finos de café (Tabela 1 ).
c. Calcular, para cada tipo de ciclone, o número de ciclones, operando em paralelo, que seria necessário para tratar uma vazão de operação de 36 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.
d. Qual dos 3 tipos de ciclones você escolheria para efetuar este serviço? Por quê?
Dados: \mu_{\mathrm{ar}}\left(60^{\circ} \mathrm{C}\right)=0,023 \mathrm{cP} ; \quad \mathrm{R}=0,082\left(\mathrm{~atm}^{*} \mathrm{~m}^{3}\right) /\left(\mathrm{kmol}^{*} \mathrm{~K}\right)
Table 1: Tabela 1 - Análise granulométrica da amostra
\captionsetup{labelformat=empty}
\mathbf{d}^{-} \mathbf{a ~ d}^{+}(\mu \mathrm{m}) \mathbf{X}
210 a 149 0,22
149 a 105 0,18
105 a 74 0,25
74 a 55 0,12
55 a 40 0,15
40 a 30 0,08
30 a 0 0

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas relacionadas ao tratamento por ciclones de uma corrente de ar a 60^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}, contendo finos de café (densidade sólida \rho_s=1{,}15\\ \mathrm{g/cm^3}):
  • (a) Determinar o diâmetro dos ciclones Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R. capazes de recuperar, com 99\% de eficiência, a partícula de café cuja dimensão é a mediana da distribuição.
  • (b) Calcular a eficiência total fornecida pelos ciclones, sabendo que o modelo de Gates–Gaudin–Schuhmann (GGS) ajusta bem a curva de distribuição granulométrica (Tabela 1).
  • (c) Calcular, para cada tipo de ciclone, o número de ciclones operando em paralelo necessário para tratar uma vazão de operação de 36\\ \mathrm{m^3/s}.
  • (d) Escolher, entre os 3 tipos, qual ciclone usar e justificar.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Temperatura do ar: 60^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T=333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: 1\\ \mathrm{atm}.
  • Viscosidade dinâmica do ar: \mu_{\mathrm{ar}}(60^\circ\mathrm{C})=0{,}023\\ \mathrm{cP}.
  • Constante dos gases informada: R=0{,}082\\ \dfrac{\mathrm{atm\cdot m^3}}{\mathrm{kmol\cdot K}}.
  • Densidade das partículas: \rho_s=1{,}15\\ \mathrm{g/cm^3}=1150\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Tabela granulométrica (cada classe com fração em massa X):
    • 210 a 149\\ \mu\mathrm{m}: X=0{,}22
    • 149 a 105\\ \mu\mathrm{m}: X=0{,}18
    • 105 a 74\\ \mu\mathrm{m}: X=0{,}25
    • 74 a 55\\ \mu\mathrm{m}: X=0{,}12
    • 55 a 40\\ \mu\mathrm{m}: X=0{,}15
    • 40 a 30\\ \mu\mathrm{m}: X=0{,}08
    • 30 a 0\\ \mu\mathrm{m}: X=0
O enunciado não especifica explicitamente constantes empíricas das correlações para cada tipo de ciclone (por exemplo valores de Stk_{50}, curvas de eficiência ou parâmetros da curva de eficiência do tipo \dfrac{1}{1+(d_{50}/d)^k}), nem fornece uma capacidade por ciclone (vazão que cada ciclone deverá tratar). Esses parâmetros são essenciais para obter numericamente os diâmetros dos ciclones e o número de unidades. Vou prosseguir calculando tudo o que for determinístico a partir dos dados (mediana, ajuste GGS, fórmulas gerais que seriam usadas), explicar didaticamente todas as fórmulas e, em seguida, indicar exatamente quais dados empíricos faltam para completar os cálculos numéricos finais.

Passo 2

Calcular a mediana (tamanho mediano, d_{50}) da distribuição granulométrica dada na tabela.
  • Interpretação prática: a mediana d_{50} é o diâmetro tal que 50\% da massa é mais fina (passa por uma peneira desse diâmetro).
  • Primeiro calculo as frações cumulativas de material mais fino, somando as classes do menor diâmetro para o maior:
    • Classe 0\!-\!30\\ \mu\mathrm{m}: X=0 \Rightarrow cumulativa até 30\\ \mu\mathrm{m} é 0{,}00.
    • Acrescentando 30\!-\!40\\ \mu\mathrm{m}: 0{,}00+0{,}08=0{,}08 (cumulativa até 40\\ \mu\mathrm{m}).
    • Acrescentando 40\!-\!55\\ \mu\mathrm{m}: 0{,}08+0{,}15=0{,}23 (até 55\\ \mu\mathrm{m}).
    • Acrescentando 55\!-\!74\\ \mu\mathrm{m}: 0{,}23+0{,}12=0{,}35 (até 74\\ \mu\mathrm{m}).
    • Acrescentando 74\!-\!105\\ \mu\mathrm{m}: 0{,}35+0{,}25=0{,}60 (até 105\\ \mu\mathrm{m}).
    • As classes maiores resultam em cumulativa >0{,}60 até 1,0 ao somar todas.
  • Observação: a fração 0{,}50 (50%) ocorre dentro da classe 74\!-\!105\\ \mu\mathrm{m}, porque antes dessa classe a cumulativa é 0{,}35 e após essa classe é 0{,}60. Então precisamos interpolar dentro dessa classe para achar exatamente d_{50}.
  • Interpolação linear dentro da classe (pressupõe distribuição uniforme dentro da classe, procedimento padrão quando não há mais detalhe):
    • Fração dentro da classe necessária para chegar a 0{,}50 é \dfrac{0{,}50-0{,}35}{0{,}25}= \dfrac{0{,}15}{0{,}25}=0{,}6.
    • Largura da classe: 105-74=31\\ \mu\mathrm{m}.
    • Posição dentro da classe: 0{,}6\times31=18{,}6\\ \mu\mathrm{m}.
    • Portanto: d_{50} = 74\\ \mu\mathrm{m} + 18{,}6\\ \mu\mathrm{m} = 92{,}6\\ \mu\mathrm{m}.
  • Resultado: a partícula mediana da distribuição tem aproximadamente \boxed{d_{50}=92{,}6\\ \mu\mathrm{m}}. (Guarde este valor para os próximos passos.)

Passo 3

Ajuste da distribuição pelo modelo Gates–Gaudin–Schuhmann (GGS) e interpretação.
  • O modelo GGS (muito usado em granulometria) representa a fração cumulativa mais fina R(d) por uma lei de potência: R(d) = \left(\dfrac{d}{d_{\max}}\right)^n,onde:
    • R(d) é a fração cumulativa mais fina (por exemplo R(d_{50})=0{,}5 por definição de mediana),
    • d_{\max} é o maior diâmetro representativo da amostra (aqui podemos tomar d_{\max}=210\\ \mu\mathrm{m}, pois é o limite superior da primeira classe),
    • n é o expoente do ajuste (parâmetro da distribuição).
  • Podemos determinar n usando o ponto da mediana (onde R(d_{50})=0{,}5): 0{,}5 = \left(\dfrac{d_{50}}{d_{\max}}\right)^n \quad\Rightarrow\quad n = \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln\!\left(\dfrac{d_{50}}{d_{\max}}\right)}.
  • Substituindo d_{50}=92{,}6\\ \mu\mathrm{m} e d_{\max}=210\\ \mu\mathrm{m}: \dfrac{d_{50}}{d_{\max}}=\dfrac{92{,}6}{210}=0{,}4419,
n = \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}4419)}=\dfrac{-0{,}6931}{-0{,}8161}\approx0{,}85.
  • Resultado: o ajuste GGS dá aproximadamente \boxed{n\approx0{,}85}. Assim a curva cumulativa pode ser escrita como
    R(d)\approx\left(\dfrac{d}{210\\ \mu\mathrm{m}}\right)^{0{,}85}.
  • Como exercício prático: com esse n é possível estimar a fração mais fina para qualquer diâmetro d contínuo, sem usar diretamente as classes da tabela.

Passo 4

Modelos de separação por ciclone — explicação didática das fórmulas necessárias para projetar o diâmetro do ciclone e calcular eficiência.
Vou explicar passo a passo a formulação que se usa na prática (a parte teórica que você precisa saber para a prova) e em seguida dizer o que falta para calcular numericamente as respostas pedidas.
  1. Conceito físico e uso do número de Stokes (para ciclones com fluxo de gás)
  • A ideia simplificada: uma partícula de diâmetro d e densidade \rho_s numa corrente giratória possui uma velocidade radial para a parede que resulta da força centrífuga (que tende a arremessar a partícula para a parede) equivalente a uma velocidade de sedimentação em um campo induzido. Um critério prático é usar o chamado número de Stokes (não confundir com o número de Stokes em fluidodinâmica rotacional — aqui o conceito leva à definição de um “Stk” prático para ciclones).
  • Uma forma comum de escrever o número adimensional de corte para ciclones é: Stk_{50} \equiv \dfrac{\rho_s\, d_{50}^2\, U_i}{18\,\mu\, D_c},onde:
    • d_{50} é o diâmetro de corte do ciclone (mediana de separação),
    • U_i é a velocidade média de entrada do gás no ciclone (m/s),
    • D_c é o diâmetro característico do ciclone (m) — por exemplo o diâmetro do corpo/corpo cilíndrico ou um diâmetro equivalente adotado pela correlação,
    • \mu é a viscosidade dinâmica do gás (Pa·s),
    • \rho_s é densidade das partículas (kg/m^3).
  • Observação importante: Stk_{50} é uma constante empírica característica do tipo/concepção geométrica do ciclone (Lapple, Stairmand H.E., Stairmand H.R. etc.). Valores numéricos de Stk_{50} são obtidos experimentalmente e tabelados na literatura. Cada modelo geométrico possui um típico valor de Stk_{50} (ou curva de eficiência), portanto é imprescindível ter esses valores para projetar D_c.
  1. Relação entre vazão Q_c no ciclone e velocidade de entrada U_i
  • A velocidade de entrada pode ser relacionada à vazão que passa por um ciclone e ao diâmetro de entrada; uma aproximação prática (usada para análise de escala) é: U_i \approx \dfrac{4\,Q_c}{\pi\,D_c^2},assumindo que a seção equivalente de entrada corresponde ao diâmetro externo D_c. (Isto é uma aproximação útil para obter uma expressão explícita para D_c.)
  • Substituindo U_i na definição de Stk_{50}, obtemos uma expressão que relaciona d_{50}, Q_c, \mu, \rho_s, Stk_{50} e D_c: Stk_{50}=\dfrac{\rho_s d_{50}^2}{18\mu D_c}\cdot \dfrac{4Q_c}{\pi D_c^2} =\dfrac{2\,\rho_s\, d_{50}^2\, Q_c}{9\pi\,\mu\, D_c^3}.Reorganizando para isolar D_c: \boxed{D_c = \left(\dfrac{2\,\rho_s\, d_{50}^2\, Q_c}{9\pi\,\mu\, Stk_{50}}\right)^{1/3}.}Esta é a expressão prática que se usa quando se quer projetar o diâmetro D_c exigido para obter um dado d_{50}, assumindo-se a vazão por unidade Q_c e conhecendo Stk_{50} do ciclone.
  1. Curva de eficiência de corte (grade-efficiency)
  • A curva de eficiência de um ciclone (fração de captura em função do diâmetro da partícula) é comumente ajustada por uma função tipo: \eta(d)=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{d_{50}}{d}\right)^k},onde:
    • \eta(d) é a eficiência de captura para partículas de diâmetro d,
    • d_{50} é o diâmetro de corte definido anteriormente,
    • k é um parâmetro de “nitidez” (sharpness) da curva (valores típicos k entre 1{,}5 e 3 dependendo do ciclone). Também existem outras formas empíricas para a curva de eficiência; todas dependem de parâmetros empíricos.
  • A eficiência total para a corrente (média em massa) é então: \eta_{\mathrm{total}}=\dfrac{\int_0^{d_{\max}} \eta(d)\, p(d)\, \mathrm{d}d}{\int_0^{d_{\max}} p(d)\, \mathrm{d}d},onde p(d) é a densidade de massa por diâmetro (pdf). Com o modelo GGS e usando uma discretização pelas classes da tabela, isso se reduz a uma soma ponderada: \eta_{\mathrm{total}}\approx \sum_{i} \eta\!\left(\bar d_i\right)\, X_i,onde \bar d_i é um diâmetro representativo da classe i (por exemplo o ponto médio) e X_i é a fração de massa na classe (dados da tabela).
  1. O que falta para calcular numericamente os diâmetros e eficiências pedidas
  • Para usar a fórmula de D_c (box acima) precisamos de:
    • Q_c: a vazão que cada ciclone deve tratar. O enunciado pede, em (c), quantas unidades em paralelo para tratar 36\\ \mathrm{m^3/s}; portanto devemos escolher um critério: ou projetamos D_c para um ciclone que trata a vazão total Q=36\\ \mathrm{m^3/s} (ou seja, um só ciclone), ou escolhemos um valor prático de Q_c por ciclone (por exemplo valores usuais de projeto) e então calculamos D_c e quantos ciclones são necessários. O enunciado não dá uma vazão por ciclone, então essa escolha é necessária e é uma decisão de projeto (padrões da planta).
    • Stk_{50} (ou outra correlação empírica equivalente) para cada tipo de ciclone: Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R. — estes são parâmetros experimentais ou tabulados na literatura técnica para cada geometria de ciclone. Sem esses números (ou as curvas de eficiência empíricas) não é possível obter um valor numérico único e correto para D_c.
    • k (sharpness) ou a forma da curva de eficiência para calcular \eta(d) e integrar sobre a distribuição. Novamente, k é empírico e depende do tipo de ciclone.
  • Observação prática: a literatura técnica e manuais de separadores dão tabelas de Stk_{50} e curvas de eficiência para Lapple e para as geometrias de Stairmand (H.E. — High Efficiency — e H.R. — High Removal), ou então fornecem gráficos d_{50} vs vazão para cada diâmetro e geometria. Esses dados são exatamente o que falta aqui.

Passo 5

Como proceder numericamente quando tivermos os dados empíricos (aqui mostro o procedimento completo — você poderá fazer na prova ou no trabalho se tiver os valores de Stk_{50} e o critério de vazão por ciclone):
  1. Determinar propriedades do ar (numérico já calculável com os dados do enunciado):
    • Converter viscosidade: \mu=0{,}023\\ \mathrm{cP}=0{,}023\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}=2{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Densidade do ar (usar a constante R dada e massa molar do ar M\approx28{,}97\\ \mathrm{kg/kmol}): \rho_{\mathrm{ar}}=\dfrac{P\,M}{R\,T}com P=1\\ \mathrm{atm}, R=0{,}082\\ \mathrm{atm\cdot m^3/(kmol\cdot K)}, T=333{,}15\\ \mathrm{K}, então \rho_{\mathrm{ar}}\approx \dfrac{1\times28{,}97}{0{,}082\times333{,}15}\approx1{,}06\\ \mathrm{kg/m^3}.(isto foi calculado para você; é útil se precisar comparar com \rho_s em fórmulas mais completas.)
    • Confirmar \mu e \rho_{\mathrm{ar}} antes do projeto.
  2. Escolher o critério de vazão por ciclone Q_c:
    • Opção A (simples): projetar um único ciclone que trate Q_c=36\\ \mathrm{m^3/s} (seria um ciclone gigante).
    • Opção B (prática): escolher um Q_c típico por unidade (por exemplo Q_c=1\\ \mathrm{m^3/s} ou outro valor de projeto) e calcular quantos ciclones em paralelo são necessários: N=\lceil 36/Q_c\rceil.
    • Na prova, a escolha deve ser justificada ou fornecida pelo enunciado. Sem ela, a resposta numérica final não é única.
  3. Aplicar a fórmula para D_c:
    D_c = \left(\dfrac{2\,\rho_s\, d_{50}^2\, Q_c}{9\pi\,\mu\, Stk_{50}}\right)^{1/3}.
    • Insira d_{50}=92{,}6\times10^{-6}\\ \mathrm{m}, \rho_s=1150\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=2{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, o Q_c escolhido e o Stk_{50} tabelado correspondente ao ciclone (Lapple, Stairmand H.E., Stairmand H.R.). Calcule D_c em metros.
  4. Calcular a curva de eficiência \eta(d) (escolhendo a forma e o parâmetro k, por exemplo k=2 se for assumido), calcular \eta(\bar d_i) para cada classe i (usar diâmetro médio da classe como representante), e então calcular a eficiência total:
    \eta_{\mathrm{total}} \approx \sum_i \eta(\bar d_i)\, X_i.
    • Se preferir usar o ajuste GGS para obter uma distribuição contínua, calcule a pdf p(d)=\dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}d} a partir de R(d)=(d/d_{\max})^n e faça a integração numérica \eta_{\mathrm{total}} = \dfrac{\int_0^{d_{\max}} \eta(d)\, p(d)\,\mathrm{d}d}{\int_0^{d_{\max}} p(d)\,\mathrm{d}d} = \int_0^{d_{\max}} \eta(d)\, p(d)\,\mathrm{d}d(pois p já está normalizada).
  5. Número de ciclones em paralelo:
    • Depois de escolher Q_c e achar D_c, o número necessário para a vazão total Q_{\mathrm{total}}=36\\ \mathrm{m^3/s} é N=\left\lceil \dfrac{Q_{\mathrm{total}}}{Q_c}\right\rceil.
    • Alternativamente, se a hipótese foi projetar um único ciclone para tratar Q_{\mathrm{total}} (Opção A), então N=1.
  6. Critério de escolha entre os 3 ciclones:
    • Compare D_c (tamanho físico), \eta_{\mathrm{total}} (eficiência média), custo estimado (típico: ciclones maiores têm maior custo e ocupação de área), perda de carga (ciclones de alta eficiência tipicamente têm maior queda de pressão), ocupação de área e facilidade de fabricação. A decisão final depende de trade-offs: eficiência vs custo vs queda de pressão vs espaço.

Passo 6

Resumo do que posso calcular agora (com os dados do enunciado) e do que não posso calcular sem informações adicionais:
  • Eu já calculei:
    • \mu=2{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • \rho_{\mathrm{ar}}\approx1{,}06\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • A mediana da distribuição granulométrica: \;d_{50}\approx92{,}6\\ \mu\mathrm{m}.
    • Ajuste GGS: expoente n\approx0{,}85, de modo que R(d)\approx\left(\dfrac{d}{210\\ \mu\mathrm{m}}\right)^{0{,}85}.
  • Não posso calcular numericamente (valores numéricos de D_c e \eta_{\mathrm{total}}) sem:
    • Os valores empíricos de Stk_{50} (ou tabelas/curvas de d_{50} vs. Q_c para cada geometria Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R.), e
    • A decisão de qual vazão por ciclone Q_c adotar (ou a escolha de projetar cada ciclone para a vazão total).
    • O parâmetro k (ou a forma exata) da curva de eficiência \eta(d) para cada ciclone, ou as curvas experimentais de eficiência.
Se você já tem na sua apostila ou no enunciado os valores de Stk_{50} (ou tabelas/curvas), eu consigo imediatamente substituir na fórmula de D_c e nas expressões de \eta(d) e concluir os cálculos passo a passo até os números finais (e também calular o número de ciclones para 36\\ \mathrm{m^3/s}). Se preferir, eu posso também usar valores típicos da literatura como exemplo ilustrativo (eu explico o raciocínio e mostro as contas) — mas isso seria um exemplo e não necessariamente o que o seu professor espera, a menos que esses valores típicos coincidam com os usados na sua disciplina.

Resposta

Impossível fornecer os valores numéricos finais solicitados (diâmetros dos ciclones e eficiências totais) sem os parâmetros empíricos de projeto para cada ciclone (por exemplo os valores de Stk_{50} ou as curvas de eficiência para Lapple, Stairmand H.E. e Stairmand H.R.) e sem a escolha da vazão por ciclone Q_c. Com os Stk_{50} e um Q_c posso calcular imediatamente D_c, \eta_{\mathrm{total}} e o número de ciclones necessários usando as fórmulas e o procedimento demonstrados acima.

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