9.1 Um arame de aço de 1,44 m de comprimento e 6,35 \mathrm{~mm} de diâmetro está submetido a uma força de tração de 3375 N . Sabendo que E=200 Gpa, determine (a) o alongamento do arame e (b) a tensão normal no arame.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Comprimento do arame: L=1,44\\ \text{m}.
  • Diâmetro do arame: d=6,35\\ \text{mm}. (Vou converter para metros abaixo.)
  • Força de tração aplicada: F=3375\\ \text{N}.
  • Módulo de Young do aço: E=200\\ \text{GPa}=200\times10^{9}\\ \text{Pa}.
  • O enunciado pede:
    (a) o alongamento do arame (variação de comprimento) \Delta L;
    (b) a tensão normal no arame \sigma (tensão de tração).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples).
  • Tensão normal (ou tensão de tração) \sigma é a força por unidade de área que age sobre a seção transversal do arame. A definição é
\sigma=\frac{F}{A},
onde F é a força e A é a área da seção transversal. As unidades de \sigma são \text{Pa}=\text{N}/\text{m}^2.
  • Deformação longitudinal (ou alongamento relativo) \varepsilon é a razão entre o alongamento \Delta L e o comprimento original L:
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}.
  • Módulo de Young E relaciona tensão e deformação numa região elástica (Lei de Hooke para tração):
E=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
Substituindo \sigma e \varepsilon obtemos a fórmula prática para o alongamento:
E=\frac{F/A}{\Delta L / L}\quad\Rightarrow\quad \Delta L = \frac{F\,L}{A\,E}.
Aqui cada símbolo significa:
  • F: força aplicada (N),
  • L: comprimento original (m),
  • A: área da seção transversal (m^2),
  • E: módulo de Young (Pa),
  • \Delta L: alongamento (m).
Comentário amigo: essencialmente o material se estica proporcionalmente à força; o fator de proporcionalidade envolve a área (seção maior, menos estica) e o módulo E (material mais rígido, menos estica).

Passo 3

Calcular a área da seção transversal A (o arame é cilíndrico, seção circular).
  • Converter o diâmetro para metros:
d=6,35\\ \text{mm}=6,35\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Área de um círculo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Calcular passo a passo (colocando os números):
d^{2}=(6,35\times10^{-3})^{2}=6,35^{2}\times10^{-6}=40,3225\times10^{-6}=4,03225\times10^{-5}\\ \text{m}^{2}.
A=\frac{\pi}{4}\,d^{2}=\frac{\pi}{4}\times4,03225\times10^{-5}\\ \text{m}^{2}.
A\approx3,17\times10^{-5}\\ \text{m}^{2}.
(Obs.: o valor numérico aproximado usado adiante será A=3,17\times10^{-5}\\ \text{m}^{2}, mantido com precisão coerente com os dados.)

Passo 4

Calcular a tensão normal \sigma usando \sigma=F/A.
  • Substituindo os valores:
\sigma=\frac{3375}{3,17\times10^{-5}}\\ \text{Pa}.
  • Efetuando a divisão:
\sigma\approx1,07\times10^{8}\\ \text{Pa}.
  • Converter para unidades mais familiares ( \text{MPa}):
1,07\times10^{8}\\ \text{Pa}=106,6\\ \text{MPa}.
Comentário: essa é a tensão média no arame causada pela força de tração.

Passo 5

Calcular o alongamento \Delta L usando \Delta L=\dfrac{F\,L}{A\,E}.
  • Primeiro calcular o numerador F\,L:
F\,L=3375\times1,44=4860\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Calcular o denominador A\,E:
A\,E=(3,17\times10^{-5})\times(200\times10^{9})\\ \text{Pa}\cdot\text{m}^{2} \approx 6,33\times10^{6}\\ \text{N}.
  • Agora a razão:
\Delta L=\frac{4860}{6,33\times10^{6}}\\ \text{m}\approx7,67\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • Converter para milímetros (mais intuitivo):
\Delta L\approx0,767\\ \text{mm}.
Interpretação amigável: o arame de 1,44\\ \text{m} se alonga cerca de 0,77\\ \text{mm} sob a força dada — pouco em termos absolutos, mas mensurável.

Passo 6

Checagem rápida de consistência e empurrão final:
  • A tensão calculada \sigma\approx106,6\\ \text{MPa} está numa faixa típica para aço submetido a carregamento elástico (dependendo do tipo de aço, limite elástico pode variar), então o uso da lei de Hooke e de E é razoável.
  • Os resultados foram arredondados coerentemente com os dados dados (diâmetro com três algarismos significativos).

Resposta

(a) \Delta L=7,67\times10^{-4}\\ \text{m}=0,767\\ \text{mm}
(b) \sigma=1,07\times10^{8}\\ \text{Pa}=106,6\\ \text{MPa}

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