9.1 Um arame de aço de 1,44 m de comprimento e
de diâmetro está submetido a uma força de tração de 3375 N . Sabendo que
Gpa, determine (a) o alongamento do arame e (b) a tensão normal no arame.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Comprimento do arame:
. - Diâmetro do arame:
. (Vou converter para metros abaixo.) - Força de tração aplicada:
. - Módulo de Young do aço:
. - O enunciado pede:
(a) o alongamento do arame (variação de comprimento);
(b) a tensão normal no arame(tensão de tração).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples).
- Tensão normal (ou tensão de tração)
é a força por unidade de área que age sobre a seção transversal do arame. A definição é
onde
é a força e
é a área da seção transversal. As unidades de
são
.
- Deformação longitudinal (ou alongamento relativo)
é a razão entre o alongamento e o comprimento original :
- Módulo de Young
relaciona tensão e deformação numa região elástica (Lei de Hooke para tração):
Substituindo
e
obtemos a fórmula prática para o alongamento:
Aqui cada símbolo significa:
-
: força aplicada (N), -
: comprimento original (m), -
: área da seção transversal (m^2), -
: módulo de Young (Pa), -
: alongamento (m).
Comentário amigo: essencialmente o material se estica proporcionalmente à força; o fator de proporcionalidade envolve a área (seção maior, menos estica) e o módulo
(material mais rígido, menos estica).
Passo 3
Calcular a área da seção transversal
(o arame é cilíndrico, seção circular).
- Converter o diâmetro para metros:
- Área de um círculo:
- Calcular passo a passo (colocando os números):
(Obs.: o valor numérico aproximado usado adiante será
, mantido com precisão coerente com os dados.)
Passo 4
Calcular a tensão normal
usando
.
- Substituindo os valores:
- Efetuando a divisão:
- Converter para unidades mais familiares (
):
Comentário: essa é a tensão média no arame causada pela força de tração.
Passo 5
Calcular o alongamento
usando
.
- Primeiro calcular o numerador
:
- Calcular o denominador
:
- Agora a razão:
- Converter para milímetros (mais intuitivo):
Interpretação amigável: o arame de
se alonga cerca de
sob a força dada — pouco em termos absolutos, mas mensurável.
Passo 6
Checagem rápida de consistência e empurrão final:
- A tensão calculada
está numa faixa típica para aço submetido a carregamento elástico (dependendo do tipo de aço, limite elástico pode variar), então o uso da lei de Hooke e de é razoável. - Os resultados foram arredondados coerentemente com os dados dados (diâmetro com três algarismos significativos).
Resposta
(a)
(b)
(b)