Um arame com o formato do círculo unitário
é esquentado de modo que sua temperatura num ponto
seja
. Determine os pontos do arame em que a temperatura é máxima e os pontos do arame em que a temperatura é mínima.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos da temperatura
sujeita à restrição do círculo unitário
O conteúdo usado será o método dos multiplicadores de Lagrange para otimização com restrição.
Passo 2
Construímos a função de Lagrange
As condições de estacionaridade são
Passo 3
Da segunda equação temos
logo ou
ou
.
Caso : da restrição
vem
. Substituindo em
determina
, mas não precisamos do
para achar os pontos, apenas os pontos críticos são
e
.
Caso : da primeira equação
segue
ou
. Da restrição
Caso
Caso
vem
. Esses pontos são
.
Passo 4
Calculamos
em cada ponto crítico:
O menor valor é
em
e o maior é
em
.
Resposta
Mínimo de temperatura em
Máximos de temperatura em