Um arame com o formato do círculo unitário x^2+y^2=1 é esquentado de modo que sua temperatura num ponto (x, y) seja T(x, y)=x^2+2 y^2-x. Determine os pontos do arame em que a temperatura é máxima e os pontos do arame em que a temperatura é mínima.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da temperatura
T(x,y)=x^2+2y^2-x
sujeita à restrição do círculo unitário
x^2+y^2=1
O conteúdo usado será o método dos multiplicadores de Lagrange para otimização com restrição.

Passo 2

Construímos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=x^2+2y^2-x-lambdal(x^2+y^2-1r)
As condições de estacionaridade são
partial Lpartial x=2x-1-2lambda x=0, partial Lpartial y=4y-2lambda y=0, partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2-1)=0

Passo 3

Da segunda equação temos
y,(4-2lambda)=0
logo ou y=0 ou lambda=2.
Caso y=0: da restrição x^2=1 vem x=pm1. Substituindo em 2x-1-2lambda x=0 determina lambda, mas não precisamos do lambda para achar os pontos, apenas os pontos críticos são (1,0) e (-1,0).
Caso lambda=2: da primeira equação 2x-1-4x=0 segue -2x=1 ou x=-tfrac12. Da restrição
y^2=1-l(-tfrac12r)^2=1-tfrac14=tfrac34
vem y=pmraiz32. Esses pontos são l(-tfrac12,pmtfracraiz32r).

Passo 4

Calculamos T em cada ponto crítico:
T(1,0)=1^2+0-1=0,
T(-1,0)=(-1)^2+0-(-1)=2,
Tl(-tfrac12,pmtfracraiz32r) =tfrac14+2cdottfrac34-(-tfrac12) =tfrac14+tfrac32+tfrac12 =tfrac94
O menor valor é 0 em (1,0) e o maior é tfrac94 em l(-tfrac12,pmtfracraiz32r).

Resposta

Mínimo de temperatura em
(1,0),
Máximos de temperatura em
l(-tfrac12,tfracraiz32r) e l(-tfrac12,-tfracraiz32r)

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