(a) (valor 2,0) Esboce o gráfico da função
(b) (valor 0,5 cada) Calcule os limites laterais, lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) para a=-2 e a=0. Caso exista, determine o limite lim x a f(x).
O conteúdo é esboço de gráfico de função composta por três ramos (parabólico, linear e trigonométrico) e cálculo de limites laterais em pontos de transição a=-2 e a=0.
Passo 2
Para esboçar o ramo parabólico y=-x^2-8x-15 em x<-2:
– Encontre o vértice: a derivada é -2x-8=0 em x=-4, e
f(-4)=-(-4)^2-8(-4)-15=1
– Em x=-2 a parábola dá
limxto -2^-f(x)=-(-2)^2-8(-2)-15=-3,
portanto coloque um círculo aberto em (-2,-3). Marque também o ponto de máximo (-4,1) e esboce a concavidade voltada para baixo.
Passo 3
Em x=-2 a função vale f(-2)=-1. Isso é um ponto isolado (bolinha cheia em -2,-1) e não pertence nem ao ramo da parábola nem ao da reta.
Passo 4
Para -2<x<0 temos a reta y=2x+1. Nos extremos:
– Quando xto -2^+, 2(-2)+1=-3, logo círculo aberto em (-2,-3).
– Quando xto 0^-, 2cdot0+1=1, círculo aberto em (0,1).
Trace o segmento de reta conectando esses valores.
Passo 5
Para x>=0 temos y=sen(x), contínua. Em x=0 vale sen(0)=0, então coloque bolinha cheia em (0,0) e a seguir trace a típica ondulação do seno para x>0.
Passo 6
Calcule os limites em a=-2:
– limxto -2^-f(x) usa o ramo parabólico e vale -3.
– limxto -2^+f(x) usa o ramo linear e vale 2(-2)+1=-3.
Como as duas são iguais, limxto -2f(x)=-3, embora f(-2)=-1.
Passo 7
Calcule os limites em a=0:
– limxto 0^-f(x) usa a reta 2x+1 e vale 1.
– limxto 0^+f(x) usa sen(x) e vale 0.
Como são diferentes, o limite limxto 0f(x) não existe.
Resposta
(a) Gráfico esboçado unindo os três ramos com os pontos destacados:
– Parabólica em x<-2 com vértice em (-4,1) e círculo aberto em (-2,-3).
– Ponto isolado em (-2,-1).
– Reta y=2x+1 para -2<x<0 com círculos abertos em (-2,-3) e (0,1).
– Seno em x>=0 com bolinha cheia em (0,0).
(b) limxto -2^-f(x)=-3,limxto -2^+f(x)=-3,limxto -2f(x)=-3 limxto 0^-f(x)=1,limxto 0^+f(x)=0, e limxto 0f(x) não existe.