1. Uma aranha fica sabendo que a teia capturou um inseto (uma mosca, por exemplo) porque os movimentos do inseto fazem oscilar os fios da teia. A aranha pode avaliar até mesmo o tamanho do inseto pela frequência das oscilações. Suponha que um inseto oscile no fio de captura como um bloco preso a uma mola. Qual é a razão entre a frequência de oscilação de um inseto de massa m e a frequência de oscilacão de um inseto de massa 2,5 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado diz que um inseto oscila preso a um fio como um bloco preso a uma mola. Pede-se a razão entre a frequência de oscilação de um inseto de massa m e a frequência de um inseto de massa 2,5\,m. Ou seja, queremos calcular
\frac{f(m)}{f(2,5\,m)}.
Informações dadas: massas m e 2,5\,m. Não é dada a constante da mola, então a solução deve mostrar que essa constante se cancela.

Passo 2

Modelo físico e fórmula essencial: para um sistema massa-mola (movimento harmônico simples) a frequência (ciclos por segundo) é dada por
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},
onde:
  • f é a frequência de oscilação (Hz),
  • k é a constante elástica da mola (N/m),
  • m é a massa do bloco (kg).
    Explicação curta: a mola fornece uma força linear proporcional ao deslocamento ( F=-kx) e, combinando com a 2ª lei de Newton, obtém-se uma equação diferencial cujo período/frequência dependem de k e m como na fórmula acima. Note que f varia como 1/\sqrt{m}.

Passo 3

Agora escrevemos as frequências para as duas massas usando a mesma constante k:
f(m)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \qquad\text{e}\qquad f(2,5\,m)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{2,5\,m}}.
Formamos a razão pedida e simplificamos:
\frac{f(m)}{f(2,5\,m)} =\frac{\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}}{\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{2,5\,m}}} =\frac{\sqrt{\dfrac{k}{m}}}{\sqrt{\dfrac{k}{2,5\,m}}}.
Como k e m aparecem dentro das raízes, eles se cancelam parcialmente; simplificando:
\frac{f(m)}{f(2,5\,m)}=\sqrt{\frac{k}{m}\cdot\frac{2,5\,m}{k}}=\sqrt{2,5}.

Passo 4

Simplificando a raiz, podemos escrever a resposta exata e também um valor aproximado numérico:
\sqrt{2,5}=\sqrt{\tfrac{5}{2}}.
Aproximação numérica (usar vírgula como separador decimal):
\sqrt{2,5}\approx1,5811.

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova: aumentar a massa reduz a frequência como 1/\sqrt{m}. Aqui, como a massa ficou 2{,}5 vezes maior, a frequência diminui por um fator 1/\sqrt{2{,}5}; portanto a razão entre a frequência original e a nova é \sqrt{2{,}5}. Se quiser responder rapidinho na prova, lembre: "frequência ∝ 1/\sqrt{\text{massa}}".

Resposta

\sqrt{\tfrac{5}{2}}\approx1,5811

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