- Uma aranha fica sabendo que a teia capturou um inseto (uma mosca, por exemplo) porque os movimentos do inseto fazem oscilar os fios da teia. A aranha pode avaliar até mesmo o tamanho do inseto pela frequência das oscilações. Suponha que um inseto oscile no fio de captura como um bloco preso a uma mola. Qual é a razão entre a frequência de oscilação de um inseto de massa m e a frequência de oscilacão de um inseto de massa
Passo 1
O enunciado diz que um inseto oscila preso a um fio como um bloco preso a uma mola. Pede-se a razão entre a frequência de oscilação de um inseto de massa
e a frequência de um inseto de massa
. Ou seja, queremos calcular
Informações dadas: massas
e
. Não é dada a constante da mola, então a solução deve mostrar que essa constante se cancela.
Passo 2
Modelo físico e fórmula essencial: para um sistema massa-mola (movimento harmônico simples) a frequência (ciclos por segundo) é dada por
onde:
-
é a frequência de oscilação (Hz), -
é a constante elástica da mola (N/m), -
é a massa do bloco (kg).
Explicação curta: a mola fornece uma força linear proporcional ao deslocamento () e, combinando com a 2ª lei de Newton, obtém-se uma equação diferencial cujo período/frequência dependem de e como na fórmula acima. Note que varia como .
Passo 3
Agora escrevemos as frequências para as duas massas usando a mesma constante
:
Formamos a razão pedida e simplificamos:
Como
e
aparecem dentro das raízes, eles se cancelam parcialmente; simplificando:
Passo 4
Simplificando a raiz, podemos escrever a resposta exata e também um valor aproximado numérico:
Aproximação numérica (usar vírgula como separador decimal):
Passo 5
Interpretação rápida e dica de prova: aumentar a massa reduz a frequência como
. Aqui, como a massa ficou
vezes maior, a frequência diminui por um fator
; portanto a razão entre a frequência original e a nova é
. Se quiser responder rapidinho na prova, lembre: "frequência ∝
".