9^{\underline{\mathrm{a}}} Questão:
Um laser de hélio-neônio opera com uma potência de 5 mW .
a) Determinar a amplitude do campo elétrico numa região onde a seção reta do feixe de luz é de 4 \mathrm{mm}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: potência do laser P = 5\\ \mathrm{mW}.
  • Dado: seção reta do feixe A = 4\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • Pedido: determinar a amplitude do campo elétrico (amplitude de pico) nessa região, E_0.
Observação implícita que vamos usar: o feixe propaga-se no ar/espaço livre onde vale a relação clássica entre intensidade e amplitude do campo elétrico para uma onda eletromagnética (assumir o meio como vácuo ou ar com constantes próximas às do vácuo).

Passo 2

Definição e estratégia básica (sem ainda calcular):
  • Intensidade média I é potência por área. Ou seja, a intensidade média que o feixe entrega numa seção é
I=\frac{P}{A},
onde I tem unidades de \mathrm{W/m^{2}}, P de \mathrm{W} e A de \mathrm{m^{2}}.
  • Para uma onda eletromagnética plana e senoidal no vácuo, a intensidade média está relacionada com a amplitude do campo elétrico E_0 por
I=\frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_0\,E_0^{2},
onde c é a velocidade da luz no vácuo e \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo. A ideia é: calcular I a partir de P e A e depois isolar E_0.

Passo 3

Breve derivação didática da fórmula I=\dfrac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2 (para você entender de onde vem):
  • Para uma onda senoidal unidimensional E(t)=E_0\cos(\omega t) e o campo magnético associado vale B(t)=B_0\cos(\omega t) com B_0=E_0/c.
  • O vetor de Poynting instantâneo tem magnitude S(t)=\dfrac{1}{\mu_0}E(t)B(t). Substituindo B(t)=E(t)/c e usando \dfrac{1}{\mu_0 c}=\varepsilon_0 c obtém-se
S(t)=\varepsilon_0 c\,E(t)^2.
  • A intensidade média é a média temporal de S(t). Para uma função senoidal, \langle E(t)^2\rangle = E_0^2/2. Portanto
I=\langle S\rangle = \varepsilon_0 c\,\frac{E_0^2}{2}=\frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_0\,E_0^{2}.
  • Nesta fórmula:
    • I é a intensidade média ( \mathrm{W/m^{2}}),
    • c é a velocidade da luz ( \mathrm{m/s}),
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \mathrm{F/m}),
    • E_0 é a amplitude de pico do campo elétrico ( \mathrm{V/m}).

Passo 4

Converter unidades e calcular a intensidade I:
  • Converter P e A para unidades SI:
    • P = 5\\ \mathrm{mW} = 5\times10^{-3}\\ \mathrm{W}.
    • A = 4\\ \mathrm{mm}^{2} = 4\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2} (pois 1\\ \mathrm{mm}^{2}=10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}).
  • Calcular I:
I=\frac{P}{A}=\frac{5\times10^{-3}}{4\times10^{-6}}=\frac{5}{4}\times10^{3}=1,25\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Isolar E_0 da fórmula da intensidade:
  • A partir de \displaystyle I=\frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_0\,E_0^{2}, isolamos E_0:
E_0=\sqrt{\frac{2I}{c\,\varepsilon_0}}.
  • Explicando: multiplica-se ambos os lados por 2/(c\varepsilon_0) e toma-se a raiz quadrada; a raiz fornece a amplitude de pico do campo elétrico.

Passo 6

Inserir valores numéricos das constantes e calcular:
  • Usar constantes aproximadas:
    • c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • \varepsilon_0=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Calcular c\,\varepsilon_0:
c\,\varepsilon_0=(3,00\times10^{8})(8,85\times10^{-12})=2,655\times10^{-3}.
  • Calcular 2I:
2I=2(1,25\times10^{3})=2,50\times10^{3}.
  • Fazer a razão:
\frac{2I}{c\,\varepsilon_0}=\frac{2,50\times10^{3}}{2,655\times10^{-3}}=9,4117647\times10^{5}.
  • Tomar raiz quadrada:
E_0=\sqrt{9,4117647\times10^{5}}\approx 9,70\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
  • Em valor numérico:
E_0\approx 9,70\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}\approx 970\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

Interpretação final e dica prática:
  • O valor encontrado é a amplitude de pico do campo elétrico da onda luminosa no feixe.
  • Se for útil na prova, o valor RMS (valor eficaz) do campo elétrico é E_{\mathrm{rms}}=E_0/\sqrt{2}\approx 6,86\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
  • Dica prática: para problemas assim memorize a fórmula I=\dfrac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2 e a relação I=P/A; assim basta fazer duas contas e isolar E_0.

Resposta

E_0\approx 9,70\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}

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