Uma amostra saturada de solo tem um volume de 30 \mathrm{dm}^{3} e peso de 70 kgf . O peso específico dos grãos é 2,79 \mathrm{gf} / \mathrm{cm}^{3}. Calcular o índice de vazios e o teor de umidade da amostra. Calcular os mesmos índices no caso da água ser salgada onde \gamma_{\text {salgada }}=1,025 \mathrm{gf} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede dois índices para uma amostra saturada de solo (totalmente saturada) e depois os mesmos índices quando a água é salgada. Dados fornecidos:
  • Volume da amostra: V=30\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Peso da amostra saturada: W=70\\ \mathrm{kgf}.
  • Peso específico dos grãos (densidade dos sólidos): \gamma_{s}=2,79\\ \mathrm{gf}/\mathrm{cm}^{3}.
  • Para o caso com água salgada: \gamma_{\text{salgada}}=1,025\\ \mathrm{gf}/\mathrm{cm}^{3}.
O que é pedido:
  • Índice de vazios e (razão entre volume de vazios e volume de sólidos).
  • Teor de umidade w (razão entre peso da água e peso dos sólidos), tanto para água doce quanto para água salgada.
Observações sobre unidades (vou usar \mathrm{dm}^{3} e \mathrm{kgf} para ficar simples):
  • 1\\ \mathrm{gf}/\mathrm{cm}^{3}=1\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{dm}^{3}. Portanto vou tratar \gamma_{s}=2,79\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{dm}^{3} e \gamma_{w(\text{doce})}=1,00\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{dm}^{3}. Para água salgada uso \gamma_{w(\text{salgada})}=1,025\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{dm}^{3}.

Passo 2

Conceitos e relações fundamentais (explicando passo a passo):
  • Em amostra saturada, todo volume de vazios V_{v} está ocupado por água, então V_{v}=V_{w} (volume de água).
  • Volume total: \;V=V_{s}+V_{v}, onde V_{s} é o volume dos sólidos.
  • Índice de vazios: \;e=\dfrac{V_{v}}{V_{s}}.
  • Teor de umidade (gravimétrico): \;w=\dfrac{W_{w}}{W_{s}}, onde W_{w} é o peso da água na amostra e W_{s} é o peso dos sólidos (peso seco).
  • Relação entre pesos e volumes: W_{s}=\gamma_{s}V_{s} e W_{w}=\gamma_{w}V_{w}.
  • Peso total: \;W=W_{s}+W_{w}=\gamma_{s}V_{s}+\gamma_{w}V_{w}.
  • Como V_{w}=V-V_{s}, substituindo obtemos
W=\gamma_{s}V_{s}+\gamma_{w}(V-V_{s})=\gamma_{w}V+(\gamma_{s}-\gamma_{w})V_{s}.
Dessa expressão isolamos V_{s}:
V_{s}=\dfrac{W-\gamma_{w}V}{\gamma_{s}-\gamma_{w}}.
Com V_{s} calculado, temos V_{v}=V-V_{s}, e=V_{v}/V_{s}, W_{w}=\gamma_{w}V_{v} e W_{s}=\gamma_{s}V_{s}, e finalmente w=W_{w}/W_{s}.

Passo 3

Cálculo para água doce ( \gamma_{w}=1,00\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{dm}^{3}) — aplicar a fórmula:
  • Primeiro calcule \gamma_{s}-\gamma_{w}=2,79-1,00=1,79\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{dm}^{3}.
  • Numerador: W-\gamma_{w}V=70-1,00\cdot 30=70-30=40\\ \mathrm{kgf}.
  • Volume de sólidos:
V_{s}=\dfrac{40}{1,79}=\dfrac{4000}{179}\\ \mathrm{dm}^{3}\approx 22,3463687\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Volume de vazios (água):
V_{v}=V-V_{s}=30-\dfrac{4000}{179}=\dfrac{1370}{179}\\ \mathrm{dm}^{3}\approx 7,6536313\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Índice de vazios:
e=\dfrac{V_{v}}{V_{s}}=\dfrac{\tfrac{1370}{179}}{\tfrac{4000}{179}}=\dfrac{1370}{4000}=0,3425.
  • Pesos:
W_{s}=\gamma_{s}V_{s}=2,79\cdot \dfrac{4000}{179}=\dfrac{11160}{179}\\ \mathrm{kgf}\approx 62,3463687\\ \mathrm{kgf},
W_{w}=W-W_{s}=70-62,3463687\approx 7,6536313\\ \mathrm{kgf}.
  • Teor de umidade (fracionário e em %):
w=\dfrac{W_{w}}{W_{s}}=\dfrac{7,6536313}{62,3463687}\approx 0,122747\quad\Rightarrow\quad w\approx 12,27\%.

Passo 4

Resumo numérico (água doce) e interpretação rápida:
  • e\approx 0,3425. Isso significa que o volume de vazios é cerca de 34,25\% do volume dos sólidos.
  • w\approx 0,1227 (ou 12,27\%). Isso significa que o peso da água é cerca de 12,27\% do peso dos sólidos.

Passo 5

Cálculo para água salgada ( \gamma_{w}=1,025\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{dm}^{3}):
  • Calcule \gamma_{s}-\gamma_{w}=2,79-1,025=1,765\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{dm}^{3}.
  • Numerador: W-\gamma_{w}V=70-1,025\cdot 30=70-30,75=39,25\\ \mathrm{kgf}.
  • Volume de sólidos:
V_{s}=\dfrac{39,25}{1,765}=\dfrac{7850}{353}\\ \mathrm{dm}^{3}\approx 22,2379977\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Volume de vazios:
V_{v}=30-\dfrac{7850}{353}=\dfrac{2740}{353}\\ \mathrm{dm}^{3}\approx 7,7620023\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Índice de vazios:
e=\dfrac{V_{v}}{V_{s}}=\dfrac{\tfrac{2740}{353}}{\tfrac{7850}{353}}=\dfrac{2740}{7850}=\dfrac{274}{785}\approx 0,34905.
  • Peso da água:
W_{w}=\gamma_{w}V_{v}=1,025\cdot \dfrac{2740}{353}=\dfrac{112340}{14120}\\ \mathrm{kgf}\approx 7,957804\\ \mathrm{kgf}.
  • Peso dos sólidos:
W_{s}=W-W_{w}=70-7,957804\approx 62,042196\\ \mathrm{kgf}.
  • Teor de umidade:
w=\dfrac{W_{w}}{W_{s}}\approx \dfrac{7,957804}{62,042196}\approx 0,12829\quad\Rightarrow\quad w\approx 12,83\%.

Passo 6

Observação final e comparação (motivação para a prova):
  • Ao aumentar a densidade da água (água salgada mais pesada), com o mesmo peso total e volume, o volume de sólidos calculado fica um pouco menor, o volume de vazios aumenta ligeiramente e, portanto, o índice de vazios e aumenta um pouco (de 0,3425 para 0,3490). O teor de umidade também aumenta ligeiramente (de 12,27\% para 12,83\%). Isso é consistente com a ideia: água mais densa contribui com mais peso por mesmo volume de água, então, para manter o mesmo peso total, o sistema ajusta os volumes resultando em pequenas variações em e e w.

Resposta

Água doce: e=0,3425, w=12,27\%
Água salgada: e=0,34905, w=12,83\%

Exercícios relacionados